Integrale definito

[gcappellotto47]

Buongiorno
ho questo integrale

$\int_{\frac{1}{3}}^{\frac{1}{2}} \frac{ \frac{1}{e^x}}{x^2} dx$

ho provato con questa sostituzione
$\frac{1}{e^x}=t$
$-e^{-x}dx=dt$
$e^{-x}=t$
$-x \log e=\log t$
$x=-\log t$
posso riscrivere l'integrale come segue:
$\int_{\frac{1}{3}}^{\frac{1}{2}} \log^2(t) dt$
ma non sono molto convinto di quello che sto facendo...
Gradirei qualche indicazione in proposito.
Grazie e saluti
Giovanni C.

[killing_buddha]

Se $e^{-x}dx=-dt$, allora (siccome $x=-log t$), deve essere $1/x^2=1/\log^2 t$.

[massimoaa]

Forse sbaglio ma a me pare che il numeratore dell'integrando vada letto come " e elevato ad $1/x$" e non come il reciproco
di $e^x$. Se è cosi, allora l'integrale si puo calcolare facilmente con la sostituzione $x=1/t$ o addirittura direttamente osservando che $1/x^2dx=d(-1/x)$.
Se ho interpretato bene, il risultato sarebbe allora $e^3-e^2$

[killing_buddha]

Il testo (anche a giudicare il codice TeX) mi sembra incontrovertibile. In entrambi i casi l'integrale si fa, certo.

[gcappellotto47]

Grazie per l'intuizione, ho perso un sacco di tempo, ma nel libro è proprio scritto $1/e^x$ ma osservando il risultato, il testo deve essere $e^(1/x)$ come scritto da massimoaa; molte grazie.