Integrale definito

[zio_mangrovia]

$\int_0^3 abs(x^2-1)dx$

Non dovrebbe essere $x^3/3-x$ visto che l'integrale è positivo quindi $3^3/3-3-0-0=6$ ?!?

[pilloeffe]

Ciao zio_mangrovia,

Assolutamente no. Per definizione si ha:

$|x| := {(x, text{ se } x \ge 0),(- x, text{ se } x < 0):}$

che nel caso in esame diventa

$|x^2 - 1| := {(x^2 - 1, text{ se } x^2 - 1 \ge 0 \implies x \le - 1 vv x \ge 1),(- (x^2 - 1), text{ se } x^2 - 1 < 0 \implies - 1 < x < 1):}$

Ora, siccome l'integrale definito è fra $0$ e $3$, l'unico valore che ricade in tale intervallo è $x = 1$, pertanto si dovrà suddividere l'intervallo di integrazione fra $0$ e $1$ e fra $1$ e $3$:

$\int_0^3 abs(x^2-1)dx = \int_0^1 abs(x^2-1)dx + \int_1^3 abs(x^2-1)dx = \int_0^1 -(x^2-1)dx + \int_1^3 (x^2-1)dx = $
$- [x^3/3 -x]_0^1 + [x^3/3 - x]_1^3 = - 1/3 + 1 + 3^3/3 - 3 - 1/3 + 1 = 8 - 2/3 = 22/3$