Integrale definito

[Frasandro]

Ciao ragazzi, per risolvere questo integrale $ int_(0)^(1) x/(1+x^4) dx $ ho svolto diversi calcoli per arrivare fin quì:

$ 1/(2 sqrt(2))int_()^()1/((1/sqrt(2))^2+(x-sqrt(2)/2)^2 )dx $ $-$ $ 1/(2 sqrt(2))int_()^()1/((1/sqrt(2))^2+(x+sqrt(2)/2)^2) dx $

continuando.... $ 1/2(arctg ((x-sqrt(2)/2)/(1/sqrt(2)))- arctg ((x+sqrt(2)/2)/(1/sqrt(2))) )$

come lo potrei scrivere in forma più compatta?

[andar9896]

Ammesso che i tuoi conti siano corretti, puoi semplicemente dividere la frazione:
$1/2(arctan(sqrt2x-1)-arctan(sqrt2x+1))$ che devi sempre valutare tra gli estremi

[quantunquemente]

osserviamo che l'integrando si può scrivere nella forma

$1/2cdot (2x)/(1+(x^2)^2)$

quindi,una sua primitiva è $1/2arctgx^2$

[Frasandro]

per calcolare il seguente integrale $ intx^3e^-(x^2) dx $ dovrei procedere integrando per parti.... io credevo che in questi casi bisognava integrare 3 volte per parti visto il terzo grado della x ma sinceramente mi blocco durante il procedimento. PEr agevolare un pò la situazione conviene effettuare una sostituzione tipo $x^2=t$ ?

[andar9896]

Direi che è una mossa vincente

[Frasandro]

con $x^2=t$ la $x^3$ come diventa $tsqrt(t)$? effettuo la sostituzione e integro sempre per parti....

[andar9896]

Puoi fare così:
$ x^2=t rarr 2xdx=t$
quindi :
$int x^3*e^(-x^2)dx = int x^2*x*e^(-x^2) dx = 1/2 int x^2*2x*e^(-x^2) dx = 1/2 int t*e^(-t) dt$
Da qui è immediato

[Frasandro]

ho usato $tsqrt(t)$ , grazie !! stavo sclerando

[Frasandro]

in questo caso $ int log(cos(x))tan(x) dx $ pongo $t=cos(x)$, integro per parti e la mia $g(x) $ è il logaritmo quindi la mia $f'(x) $ è $tan(x)$ ma la sua primitiva qual è?

[andar9896]

La primitiva della tangente non ti serve perché se
$cosx=t rarr -sinxdx=dt$
allora : $int log(cosx)*tanx dx = int log(cosx)*sinx/cosx dx = - int logt/t dt$

Puoi continuare da qui oppure possiamo notare un'altra cosa... per esempio proviamo a derivare $log(cosx)$

[Frasandro]

mmmm no, non ti seguo :'(

[andar9896]

Allora facciamo che procediamo con la sostituzione $cosx=t$

Altrimenti possiamo notare che
$d(log(cosx))=1/cosx * -sinx dx = -tanx dx$ !

Quindi, ponendo $log(cosx)=t rarr -tanx dx = dt$ abbiamo:
$int log(cosx)tanx dx = - int t dt$

[Frasandro]

"andar9896":La primitiva della tangente non ti serve perché se
$cosx=t rarr -sinxdx=dt$
allora : $int log(cosx)*tanx dx = int log(cosx)*sinx/cosx dx = - int logt/t dt$

Puoi continuare da qui oppure possiamo notare un'altra cosa... per esempio proviamo a derivare $log(cosx)$

perdonami se riprendo il discorso solo adesso, il lavoro mi ha tenuto abbastanza impegnato..... Veniamo a noi,

se $cosx=t $ allora $x=arccost$ quindi $dx=-1/sqrt(1-t^2)dt$... ci siamo?

[andar9896]

Non è quella la strada più comoda, se scriviamo $tanx$ come $sinx/cosx$ allora, dalla sostituzione $t=cosx$, ricaviamo che $dt=-sinx dx$... è sicuramente più semplice da trattare

[Frasandro]

"andar9896":Non è quella la strada più comoda, se scriviamo $tanx$ come $sinx/cosx$ allora, dalla sostituzione $t=cosx$, ricaviamo che $dt=-sinx dx$... è sicuramente più semplice da trattare

e come lo ricaviamo $dt=-sinx dx$ ? non mi tornano i conti....

[andar9896]

Facendo il differenziale di entrambi i membri

[Frasandro]

alla fine l'ho risolto sfruttando questo....

"andar9896":

Altrimenti possiamo notare che
$d(log(cosx))=1/cosx * -sinx dx = -tanx dx$ !

Quindi, ponendo $log(cosx)=t rarr -tanx dx = dt$ abbiamo:
$int log(cosx)tanx dx = - int t dt$

invece non ho capito questo:

"andar9896":La primitiva della tangente non ti serve perché se
$ cosx=t rarr -sinxdx=dt $
allora : $ int log(cosx)*tanx dx = int log(cosx)*sinx/cosx dx = - int logt/t dt $

questo integrale mi ha mandato totalmente in confusione...

[andar9896]

È la stessa identica cosa!! Anzi è più semplice
Riscriviamo così l'integrale:
$int log(cosx) sinx/cosx dx = - int log(cosx)*(-sinx)/cosx dx$
Ora, con la nostra sostituzione $cosx=t rarr -sinx dx=dt$, abbiamo che:
$ -int log(cosx)*(-sinx)/cosx dx = - int logt/t dt$ che è immediato!