Integrale Definito

[roberto.caldaroni]

Salve a tutti,
sto cercando di risolvere questo integrale:

$ int_(0)^(oo ) cos(kx)/(1+x^2) dx $

Ho provato a risolverlo per parti, ma mi blocco, non credo sua la strada giusta.
Potete aiutarmi???

[Light_1]

Ad una prima occhiata io invece direi che l'integrazione per parti sia la strada da seguire ,

poi magari mi sbaglio.

[roberto.caldaroni]

Applicando la formula per parti questo dovrebbe essere il risultato, non so se è corretto...

avendo preso come:
$g'(x)=cos(kx)$ e $f(x)=1/(1+x^2)$

ottengo:

$ int_(0)^(oo ) cos(kx)/(1+x^2) dx= 1/(1+∞)*sin(∞)/k-1/(1+0)*sin(0)/k-int_(0)^(oo )-(2x)/(1+x^2)^2*sin(kx)/k dx$

[Light_1]

Mi pareva strano ..

Ora che hai modificato il seno con il coseno in effetti l'integrale è risolubile con metodi umani ,

conosci il lemma di Jordan ?

In tal caso hai che la funzione integranda è pari , allora

$ I=int_(0)^(+oo )(cos(kx))/(1+x^2)dx=1/2int_(-oo)^(+oo )(cos(kx))/(1+x^2)dx $

[roberto.caldaroni]

Si scusa hai ragione avevo sbagliato ed ho modificato..
Cmq continuo a brancolare nel buoi..........
Quindi l'integrazione per parti non va bene e devo usare Jordan?!

[Light_1]

Io userei Jordan ,

capirai sicuramente che un integrale il fatto di avere una funzione pari o una funzione dispari cambia molto.

Se usi Jordan , giusto per darti un incipit , avrai che

$ I=int_(0)^(+oo )(cos(kx))/(1+x^2)dx=1/2int_(-oo)^(+oo )(cos(kx))/(1+x^2)dx= $

$ 1/4oint_(C) (e^(ikx)+e^(-ikx))/(1+x^2)dx $

Ora , se conosci il lemma , sai che dovrai spezzare il cammino di integrazione , in due cammini ..

[roberto.caldaroni]

Ti ringrazio tanto, il lemma non lo conosco, ma gli darò un occhiata e cercherò di risolverlo!!
Grazie