Integrale definito
salve a tutti, ho questo integrale che non riesco a risolvere, qualcuno può aiutarmi con i passaggi iniziali?
$\int_0^1 ( x^3 + 3X^2 - 3X - 1)^3 * ( X^2+ 2X - 1 ) dx $
io ho pensato che il secondo membro poteva essere completato in modo tale da trovare una funzione che moltiplica la sua derivata...
infatti se faccio la derivata del primo pezzo ottengo: $ 9* ( x^3 + 3X^2 - 3X -1)^2* (X^2+ 2x - 1) $
in questo modo bastava mettere fuori
$ 1/9 $
e dentro l'integrale $ 9 $...
però il mio dubbio è che non è ancora completo, dato che dovrei aggiungere ancora un altro pezzo: la derivata esterna elevata a 2... ma qui mi sono persa e non so come devo proseguire... o se ho sbagliato, esiste un modo più semplice?? grazie a tutti...
$\int_0^1 ( x^3 + 3X^2 - 3X - 1)^3 * ( X^2+ 2X - 1 ) dx $
io ho pensato che il secondo membro poteva essere completato in modo tale da trovare una funzione che moltiplica la sua derivata...
infatti se faccio la derivata del primo pezzo ottengo: $ 9* ( x^3 + 3X^2 - 3X -1)^2* (X^2+ 2x - 1) $
in questo modo bastava mettere fuori
$ 1/9 $
e dentro l'integrale $ 9 $...
però il mio dubbio è che non è ancora completo, dato che dovrei aggiungere ancora un altro pezzo: la derivata esterna elevata a 2... ma qui mi sono persa e non so come devo proseguire... o se ho sbagliato, esiste un modo più semplice?? grazie a tutti...
Risposte
Come hai giustamente osservato, se indichi con $f(x)=x^3+3x^2-3x-1$, allora
$$f'(x)=3x^2+6x-3=3(x^2+2x-1)$$
Pertanto puoi riscrivere l'integrale come
$$\int_0^1 [f(x)]^3\cdot\frac{1}{3} f'(x)\ dx=\frac{1}{3}\int_0^1 f'(x)[f(x)]^3\ dx=\frac{1}{3}\left[\frac{[f(x)]^4}{4}\right]_0^1=\frac{1}{12}\left([f(1)]^4-[f(0)]^4\right)=-\frac{1}{12}$$
Un altro metodo (sostanzialmente equivalente ma che ti evita di calcolare per quali costanti moltiplicare) è quello di usare una sostituzione: posto
$$t=x^3+3x^2-3x-1\ \Rightarrow\ dt=3(x^2+2x-1)\ dx\ \Rightarrow\ (x^2+2x-1)\ dx=\frac{1}{3}\ dt$$
Inoltre, osservo che se $x=0\to t=-1,\ x=1\to t=0$ e pertanto posso scrivere l'integrale come
$$\int_{-1}^0 \frac{t^3}{3}\ dt=\left[\frac{t^4}{12}\right]_{-1}^0=-\frac{1}{12}$$
$$f'(x)=3x^2+6x-3=3(x^2+2x-1)$$
Pertanto puoi riscrivere l'integrale come
$$\int_0^1 [f(x)]^3\cdot\frac{1}{3} f'(x)\ dx=\frac{1}{3}\int_0^1 f'(x)[f(x)]^3\ dx=\frac{1}{3}\left[\frac{[f(x)]^4}{4}\right]_0^1=\frac{1}{12}\left([f(1)]^4-[f(0)]^4\right)=-\frac{1}{12}$$
Un altro metodo (sostanzialmente equivalente ma che ti evita di calcolare per quali costanti moltiplicare) è quello di usare una sostituzione: posto
$$t=x^3+3x^2-3x-1\ \Rightarrow\ dt=3(x^2+2x-1)\ dx\ \Rightarrow\ (x^2+2x-1)\ dx=\frac{1}{3}\ dt$$
Inoltre, osservo che se $x=0\to t=-1,\ x=1\to t=0$ e pertanto posso scrivere l'integrale come
$$\int_{-1}^0 \frac{t^3}{3}\ dt=\left[\frac{t^4}{12}\right]_{-1}^0=-\frac{1}{12}$$
La strada è giusta 
Vedila così:
Nota come la derivata del primo fattore di questa integranda si sviluppi in maniera analoga per qualunque potenza intera $>1$: prova a calcolare la derivata di $f^4(x)$, cosa noti?
EDIT: tutti insieme
Vedila così:
\[\int {{f^3}\left( x \right) \cdot g\left( x \right){\rm{d}}x} \]
Nota come la derivata del primo fattore di questa integranda si sviluppi in maniera analoga per qualunque potenza intera $>1$: prova a calcolare la derivata di $f^4(x)$, cosa noti?
EDIT: tutti insieme
grazie a tutti... ho risolto i miei dubbi, anche il metodo della sostituzione mi è sembrato abbastanza semplice..
"Brancaleone":
La strada è giusta
Vedila così:
\[\int {{f^3}\left( x \right) \cdot g\left( x \right){\rm{d}}x} \]
Nota come la derivata del primo fattore di questa integranda si sviluppi in maniera analoga per qualunque potenza intera $>1$: prova a calcolare la derivata di $f^4(x)$, cosa noti?
EDIT: tutti insieme
Un'orgia, proprio....
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