Integrale da svolgere.. help
Scusate se sto facendo tante domande ma ho esame a breve quindi sto raccogliendo un po tutto quello che non ho chiaro e ho trovato questo forum troppo tardi XD
$\int1/(x(x-1)(x^2+4)$
$\int1/(x(x-1)(x^2+4)$
Risposte
Decomponi in fratti semplici, $\frac{1}{x (x-1) (x^2 + 4)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x-1} + \frac{Cx + D}{x^2 + 4}$, determini $A, B, C, D$ in modo che tale uguaglianza sia soddisfatta, e il gioco è fatto.
Scusa la domanda (sicuramente banale) ma con l'equazione che pongo ho un bel po di variabili XD
Come faccio a determinare ABCD con una sola equazione? dovrei provare ad inventarne 3 a mio piacimento trovando il quarto con l'equazione?
Inoltre, questa è una procedura che posso usare per tutti i casi analoghi? grazie per la pazienza lol
Come faccio a determinare ABCD con una sola equazione? dovrei provare ad inventarne 3 a mio piacimento trovando il quarto con l'equazione?
Inoltre, questa è una procedura che posso usare per tutti i casi analoghi? grazie per la pazienza lol
non si tratta di una semplice equazione, ma dell'identità tra due polinomi: devi uguagliare i coefficienti dei termini di ugual grado. ciao.
"adaBTTLS":
non si tratta di una semplice equazione, ma dell'identità tra due polinomi: devi uguagliare i coefficienti dei termini di ugual grado. ciao.
detto in parole pratiche? XD
se dovessi ottenere ad esempio
$((A+B)x^3+Ax^2+(3A+C)x+(B+2D))/(x(x-1)(x^2+4))-=1/(x(x-1)(x^2+4))$ (ho scritto la frazione che avevi, ma non ho svolto i calcoli, per quelli basta seguire le indicazioni di Tipper!) allora dovresti "identificare" i polinomi a denominatore: (in questo caso si devono annullare tutti i termini con la x e deve rimanere solo 1) otterresti il seguente sistema nelle incognite A, B, C, D:
$A+B=0$
$A=0$
$3A+C=0$
$B+2D=1$
è chiaro? ciao.
$((A+B)x^3+Ax^2+(3A+C)x+(B+2D))/(x(x-1)(x^2+4))-=1/(x(x-1)(x^2+4))$ (ho scritto la frazione che avevi, ma non ho svolto i calcoli, per quelli basta seguire le indicazioni di Tipper!) allora dovresti "identificare" i polinomi a denominatore: (in questo caso si devono annullare tutti i termini con la x e deve rimanere solo 1) otterresti il seguente sistema nelle incognite A, B, C, D:
$A+B=0$
$A=0$
$3A+C=0$
$B+2D=1$
è chiaro? ciao.
noto che ho scritto "denominatore"... ovviamente intendevo numeratore... scusa ma ho un terribile mal di testa. se hai bisogno di qualche chiarimento rispondi subito, perché temo che tra poco dovrò chiudere... ciao.
ADESSO E' CHIARISSIMO!!!
fammi capire solo una cosa... se al numeratore della frazione iniziale avessi avuto 4x+3 anzichè 1.. avrei dovuto identificare il (blabla)x e il (blabla) ponendo il primo uguale a 4 e il secondo uguale a 3?
Altra cosa: se tra abcd, una di queste esce uguale a zero o impossibile in qualche modo.. vuol dire che ho sbagliato o è possibile? (è giusto a titolo informativo)
Grazie mille!!
fammi capire solo una cosa... se al numeratore della frazione iniziale avessi avuto 4x+3 anzichè 1.. avrei dovuto identificare il (blabla)x e il (blabla) ponendo il primo uguale a 4 e il secondo uguale a 3?
Altra cosa: se tra abcd, una di queste esce uguale a zero o impossibile in qualche modo.. vuol dire che ho sbagliato o è possibile? (è giusto a titolo informativo)
Grazie mille!!
impossibile non può essere. c'è un teorema a garantire che queste scomposizioni si possono fare sempre. ovviamente devi impostare il tutto come scritto sopra! dai un'occhiata qua: http://it.wikipedia.org/wiki/Metodi_di_ ... _razionali
$1/(x (x-1) (x^2 + 4)) = A/x + B/(x-1) + (Cx+D)/(x^2+4) = (A(x-1)(x^2+4) + xB(x^2+4) + x(Cx+D)(x-1))/(x(x-1)(x^2+4)) =$
qui tolgo il denominatore data l'uguaglianza e proseguo:
$A(x-1)(x^2+4) + xB(x^2+4) + x(Cx+D)(x-1) =$
$=(Ax-A)(x^2+4) + Bx^3+4Bx + (Cx^2+Dx)(x-1)=$
$=Ax^3+4Ax-Ax^2-4A + Bx^3+4Bx + Cx^3-Cx^2+Dx^2-Dx=$
$=x^3(A+B+C) + x^2(-A-C+D) + x(4A+4B-D) + (-4A)$
Una volta 'evidenziati' i coefficienti di $x^3 x^2 x^1 x^0$ svolgo il sistema come mi avete detto ponendo che i primi 3 saranno uguali a zero e l'ultimo ovviamente uguale ad 1:
$A+B+C=0$
$-A-C+D=0$
$4A+4B-D=0$
$-4A=1$
---------------
$-1/4+B+C=0$
$+1/4-C+D=0$
$4(-1/4)+4B-D=0$
$A=-1/4$
------------
$B=1/4-C$
$+1/4-C+D=0$
$-1+1-4C-D=0$
$A=-1/4$
------------
$B=1/4-C$
$+1/4+D/4+D=0$
$C=-D/4$
$A=-1/4$
----------
$B=1/4-C$
$(1+D)/4=-1/4 --> D=-1$
$C=-D/4$
$A=-1/4$
----------
$B=1/4-1/4=0$
$D= -1$
$C=1/4$
$A=-1/4$
Verificando non viene... dove sbaglio? ho rifatto l'esercizio da capo 2 volte quindi non credo che ci sia qualche errore di distrazione o di calcolo.. help
qui tolgo il denominatore data l'uguaglianza e proseguo:
$A(x-1)(x^2+4) + xB(x^2+4) + x(Cx+D)(x-1) =$
$=(Ax-A)(x^2+4) + Bx^3+4Bx + (Cx^2+Dx)(x-1)=$
$=Ax^3+4Ax-Ax^2-4A + Bx^3+4Bx + Cx^3-Cx^2+Dx^2-Dx=$
$=x^3(A+B+C) + x^2(-A-C+D) + x(4A+4B-D) + (-4A)$
Una volta 'evidenziati' i coefficienti di $x^3 x^2 x^1 x^0$ svolgo il sistema come mi avete detto ponendo che i primi 3 saranno uguali a zero e l'ultimo ovviamente uguale ad 1:
$A+B+C=0$
$-A-C+D=0$
$4A+4B-D=0$
$-4A=1$
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$-1/4+B+C=0$
$+1/4-C+D=0$
$4(-1/4)+4B-D=0$
$A=-1/4$
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$B=1/4-C$
$+1/4-C+D=0$
$-1+1-4C-D=0$
$A=-1/4$
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$B=1/4-C$
$+1/4+D/4+D=0$
$C=-D/4$
$A=-1/4$
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$B=1/4-C$
$(1+D)/4=-1/4 --> D=-1$
$C=-D/4$
$A=-1/4$
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$B=1/4-1/4=0$
$D= -1$
$C=1/4$
$A=-1/4$
Verificando non viene... dove sbaglio? ho rifatto l'esercizio da capo 2 volte quindi non credo che ci sia qualche errore di distrazione o di calcolo.. help
invece c'è qualche errore nei conti: a me risulta $A = -1/4, B = 1/5, C = 1/20, D = -1/5$
comunque ci sono anche altri modi meno noiosi di fare queste scomposizioni: nel tuo caso, ad esempio:
devi risolvere $1/(x(x-1)(x^2+4))=A/x+B/(x-1)+(Cx+D)/(x^2+4)$, nelle incognite $A,B,C,D$, $\forall x !=0,1$.
In particolare questo deve essere vero $\forall x!=0$. Quindi deve essere vero anche
$1/((x-1)(x^2+4))=A + x*B/(x-1)+x*(Cx+D)/(x^2+4)$, sempre $\forall x!=0,1$ perciò sicuramente questa uguaglianza è vera in un intorno dello $0$.
Quando due funzioni sono uguali in tutto un intorno di un punto, anche i limiti devono essere uguali (oppure non esistere): più precisamente
$lim_{x\to0}1/((x-1)(x^2+4))=lim_{x\to0}A + x*B/(x-1)+x*(Cx+D)/(x^2+4)$
perciò
$1/((-1)(4))=A$. Quindi $A$ è necessariamente uguale a $-1/4$. Adesso continua tu.
Con questo sistema ti puoi risparmiare un mare di conti.
devi risolvere $1/(x(x-1)(x^2+4))=A/x+B/(x-1)+(Cx+D)/(x^2+4)$, nelle incognite $A,B,C,D$, $\forall x !=0,1$.
In particolare questo deve essere vero $\forall x!=0$. Quindi deve essere vero anche
$1/((x-1)(x^2+4))=A + x*B/(x-1)+x*(Cx+D)/(x^2+4)$, sempre $\forall x!=0,1$ perciò sicuramente questa uguaglianza è vera in un intorno dello $0$.
Quando due funzioni sono uguali in tutto un intorno di un punto, anche i limiti devono essere uguali (oppure non esistere): più precisamente
$lim_{x\to0}1/((x-1)(x^2+4))=lim_{x\to0}A + x*B/(x-1)+x*(Cx+D)/(x^2+4)$
perciò
$1/((-1)(4))=A$. Quindi $A$ è necessariamente uguale a $-1/4$. Adesso continua tu.
Con questo sistema ti puoi risparmiare un mare di conti.
l'interpretazione è corretta, anche nell'ipotesi del "blabla", anche soluzioni "zero" sono accettabili.
hai commesso un errore di calcolo per la D al penultimo passaggio: ti correggo:
---------
$B=1/4-C$
$((1+4)/4)D=-1/4$ da cui $D=-1/5$
$C=-D/4$ da cui $C=1/20$
$A=-1/4$
---------
$A=-1/4$
$B=1/4 - 1/20 = (5-1)/20 = 1/5$
$C=1/20$
$D=-1/5$
OK? ciao.
hai commesso un errore di calcolo per la D al penultimo passaggio: ti correggo:
---------
$B=1/4-C$
$((1+4)/4)D=-1/4$ da cui $D=-1/5$
$C=-D/4$ da cui $C=1/20$
$A=-1/4$
---------
$A=-1/4$
$B=1/4 - 1/20 = (5-1)/20 = 1/5$
$C=1/20$
$D=-1/5$
OK? ciao.
tutto chiarissimo!! mi avete salvato la vita... stamattina alle 10 ho esame quindi speriamo bene.. grazie di cuore.. vi faccio sapere XD
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