Integrale da sballo
$\int_{0}^{infty}(sin(x^2)-(sinx)^2)/x^4$
Salve a tutti...sono nuovo del forum...
Oggi mi sono trovato di fronte questo bestione
....non so nemmeno dove l'abbia trovato...
Qualcuno può aiutarmi a risolverlo...o quantomeno darmi delle "dritte" per la sua risoluzione???
AIUTOOOO!!!!
Salve a tutti...sono nuovo del forum...
Oggi mi sono trovato di fronte questo bestione
....non so nemmeno dove l'abbia trovato...Qualcuno può aiutarmi a risolverlo...o quantomeno darmi delle "dritte" per la sua risoluzione???
AIUTOOOO!!!!
Risposte
"Dubbioso":
$\int_{0}^{infty}(sin(x^2)-(sinx)^2)/x^4$
Salve a tutti...sono nuovo del forum...
Oggi mi sono trovato di fronte questo bestione
Qualcuno può aiutarmi a risolverlo...o quantomeno darmi delle "dritte" per la sua risoluzione???
AIUTOOOO!!!!
in zero sviluppa il seno tranquillamente e quindi valuti (ricoda che per Mcalurin in zero $sinx=x-x^3/6+o(x^3)$ e $sinx^2=x^2-x^6/6+o(x^6)$)
mentre all'infinito $|sinx^2-sin^2x|<2$ quindi puoi maggiorare con $2/x^4$
Quindi praticamente tu mi diresti di analizzarlo allo 0 come lo sviluppo in serie dei due seni e ad infinito semplicemente come $2/x^4$ ...
Ma in definitiva...quanto porta???
io ho provato a dividere il problema in due integrali, per vedere se si potesse applicare il teorema dei residui...ma nel primo integrale è praticamente impossibile...
Ma in definitiva...quanto porta???
io ho provato a dividere il problema in due integrali, per vedere se si potesse applicare il teorema dei residui...ma nel primo integrale è praticamente impossibile...
fu^2, qualche volta si vuole anche calcolarli questi integrali, non solo stimarne la convergenza!
cmq, dubbioso, anche a me fa paura... mai stato bravo con gli integrali
.... però è carino da vedere....
ma davvero con l'analisi complessa non si giunge a nulla?...
di sicuro avrai già provato, ma hai provato ad usare che la funzione è pari, e fare i soliti due cammini semicircolari uno piccolo intorno all'origine e l'altro grande all'infinito e vedere se ci sono le ipotesi adatte per applicare jordan ed il lemma del piccolo cerchio? (senza separare l'integrale magari)
jordan mi pare ci sia di sicuro... per il lemma del piccolo cerchio mi sa che si deve fare qualche calcolo (tipo vedere che polo vi è nell'origine... chissà se sei fortunato!)...
cmq, dubbioso, anche a me fa paura... mai stato bravo con gli integrali
.... però è carino da vedere....ma davvero con l'analisi complessa non si giunge a nulla?...
di sicuro avrai già provato, ma hai provato ad usare che la funzione è pari, e fare i soliti due cammini semicircolari uno piccolo intorno all'origine e l'altro grande all'infinito e vedere se ci sono le ipotesi adatte per applicare jordan ed il lemma del piccolo cerchio? (senza separare l'integrale magari)
jordan mi pare ci sia di sicuro... per il lemma del piccolo cerchio mi sa che si deve fare qualche calcolo (tipo vedere che polo vi è nell'origine... chissà se sei fortunato!)...
"Thomas":
fu^2, qualche volta si vuole anche calcolarli questi integrali, non solo stimarne la convergenza!
non mi pareva fosse richiesto.. scusate...
e se non è richiesto non si fa
in fondo la matematica è l'arte di non fare i conti!
Mathematica dice che il risultato è $1/3(\pi-\sqrt(2\pi))$.
Purtroppo non ho tempo per provarci.
Purtroppo non ho tempo per provarci.
"Thomas":
fu^2, qualche volta si vuole anche calcolarli questi integrali, non solo stimarne la convergenza!
cmq, dubbioso, anche a me fa paura... mai stato bravo con gli integrali
ma davvero con l'analisi complessa non si giunge a nulla?...
di sicuro avrai già provato, ma hai provato ad usare che la funzione è pari, e fare i soliti due cammini semicircolari uno piccolo intorno all'origine e l'altro grande all'infinito e vedere se ci sono le ipotesi adatte per applicare jordan ed il lemma del piccolo cerchio? (senza separare l'integrale magari)
jordan mi pare ci sia di sicuro... per il lemma del piccolo cerchio mi sa che si deve fare qualche calcolo (tipo vedere che polo vi è nell'origine... chissà se sei fortunato!)...
Fatto tutto...il mio dubbio è:
Solitamnete, quando affronto integral in seno o coseno, passo all'analisi complessa paragonando la parte trigonometrica a $e^(iz)$...
In questo caso potrei scrivere $sin(x^2)=e^(iz^2)$ ?
No,vero!?
"Eredir":
Mathematica dice che il risultato è $1/3(\pi-\sqrt(2\pi))$.
Purtroppo non ho tempo per provarci.
Beh...già sapere che esiste un risultato mi da una certa allegria...
Fatto tutto...il mio dubbio è:
no aspe, che intendo per "paragonare"? quello che intendi è forse il procedimento per risolvere integrali reali con integranda dipendente da seno e coseno, procedimento che ti porta a riscrivere l'intero integrale con un intero altro integrale nel piano complesso... ma in realtà non sono sicuro che intendi questo... la sua sostituzione parrebbe un tentativo per scrivere l'integrale come la parte reale di un altro integrale.... boh...
ricorda che vale questa! : e^(ix)=cos(x)+isen(x)...
io intendo il procedimento che ti porta a considerare la funzione (sen(z^2)-sen(z)^2)/z^4.... con il cammino descritto sopra...
non so... vorrei sicerarmi che tu abbia provato veramente a fare quello che dicevo... nel caso, che risultati hai ottenuto? in sostanza credo sia utile sapere di che ordine è il polo al numeratore... magari in effetti può servire dividere l'integrale in due per avere l'ordine del polo giusto...
Solitamente, quando affronto integral in seno o coseno, passo all'analisi complessa paragonando la parte trigonometrica a $e^(iz)$...
In questo caso potrei scrivere $sin(x^2)=e^(iz^2)$ ?
No,vero!?
no aspe, che intendo per "paragonare"? quello che intendi è forse il procedimento per risolvere integrali reali con integranda dipendente da seno e coseno, procedimento che ti porta a riscrivere l'intero integrale con un intero altro integrale nel piano complesso... ma in realtà non sono sicuro che intendi questo... la sua sostituzione parrebbe un tentativo per scrivere l'integrale come la parte reale di un altro integrale.... boh...
ricorda che vale questa! : e^(ix)=cos(x)+isen(x)...
io intendo il procedimento che ti porta a considerare la funzione (sen(z^2)-sen(z)^2)/z^4.... con il cammino descritto sopra...
non so... vorrei sicerarmi che tu abbia provato veramente a fare quello che dicevo... nel caso, che risultati hai ottenuto? in sostanza credo sia utile sapere di che ordine è il polo al numeratore... magari in effetti può servire dividere l'integrale in due per avere l'ordine del polo giusto...
"Thomas":
Fatto tutto...il mio dubbio è:
Solitamente, quando affronto integral in seno o coseno, passo all'analisi complessa paragonando la parte trigonometrica a $e^(iz)$...
In questo caso potrei scrivere $sin(x^2)=e^(iz^2)$ ?
No,vero!?
no aspe, che intendo per "paragonare"? quello che intendi è forse il procedimento per risolvere integrali reali con integranda dipendente da seno e coseno, procedimento che ti porta a riscrivere l'intero integrale con un intero altro integrale nel piano complesso... ma in realtà non sono sicuro che intendi questo... la sua sostituzione parrebbe un tentativo per scrivere l'integrale come la parte reale di un altro integrale.... boh...
ricorda che vale questa! : e^(ix)=cos(x)+isen(x)...
io intendo il procedimento che ti porta a considerare la funzione (sen(z^2)-sen(z)^2)/z^4.... con il cammino descritto sopra...
non so... vorrei sicerarmi che tu abbia provato veramente a fare quello che dicevo... nel caso, che risultati hai ottenuto? in sostanza credo sia utile sapere di che ordine è il polo al numeratore... magari in effetti può servire dividere l'integrale in due per avere l'ordine del polo giusto...
Thomas...io parto proprio da quella forma in e^ix=ecc ecc...
Qui il problema è che non avrei $sinx$ ma $sin(x^2)$...Quindi in forma esponenziale, come risulterebbe??
E' un dubbio che mi assilla da ieri...finora ho incontrato solo funzioni trigonometriche con la variabile di grado 1...la formula è estendibile anche agli altri gradi???
Nonostante dovrei fare altro... ho fatto qualche tentativo per risolverlo.
Sono riuscito ad ottenere il primo termine considerando la funzione $f(z)={e^{iz^2}+i/2e^{i2z}-i/2}/{z^4}$ ed integrando sul solito percorso circolare che gira sopra dell'origine. Ora dovrei capire dove mi perdo il secondo pezzo.
Sono riuscito ad ottenere il primo termine considerando la funzione $f(z)={e^{iz^2}+i/2e^{i2z}-i/2}/{z^4}$ ed integrando sul solito percorso circolare che gira sopra dell'origine. Ora dovrei capire dove mi perdo il secondo pezzo.
"Eredir":
Nonostante dovrei fare altro... ho fatto qualche tentativo per risolverlo.
Sono riuscito ad ottenere il primo termine considerando la funzione $f(z)={e^{iz^2}+i/2e^{i2z}-i/2}/{z^4}$ ed integrando sul solito percorso circolare che gira sopra dell'origine. Ora dovrei capire dove mi perdo il secondo pezzo.
Grazie mille ma...mi spiegheresti meglio questo passaggio??
"Dubbioso":
Grazie mille ma...mi spiegheresti meglio questo passaggio??
Il primo pezzo si scrive semplicemente $sin(x^2)=Im(e^{ix^2})$.
Per il secondo utilizzo la formula di De Moivre ottenendo $e^{i2x} = (cosx+isinx)^2 = cos^2x-sin^2x+2isinxcosx = 1-2sin^2x+2isinxcosx$, per cui scrivo $sin^2x = Re(1/2-1/2e^{i2x}) = Im(i/2-i/2e^{i2x})$.
Quindi in definitiva $sin(x^2)-sin^2x = Im(e^{ix^2}+i/2e^{i2x}-i/2)$.
Quindi la funzione da integrare è $f(z)={e^{iz^2}+i/2e^{i2z}-i/2}/{z^4}$, di cui alla fine dovremo prendere la parte immaginaria.
"Eredir":
[quote="Dubbioso"]Grazie mille ma...mi spiegheresti meglio questo passaggio??
Il primo pezzo si scrive semplicemente $sin(x^2)=Im(e^{ix^2})$.
Per il secondo utilizzo la formula di De Moivre ottenendo $e^{i2x} = (cosx+isinx)^2 = cos^2x-sin^2x+2isinxcosx = 1-2sin^2x+2isinxcosx$, per cui scrivo $sin^2x = Re(1/2-1/2e^{i2x}) = Im(i/2-i/2e^{i2x})$.
Quindi in definitiva $sin(x^2)-sin^2x = Im(e^{ix^2}+i/2e^{i2x}-i/2)$.
Quindi la funzione da integrare è $f(z)={e^{iz^2}+i/2e^{i2z}-i/2}/{z^4}$, di cui alla fine dovremo prendere la parte immaginaria.[/quote]
Grazie ancora...ora credo di aver capito....Scusa...non so quanto ti ci possa essere voluto a scrivere tutte le formule...io ieri per scrivere la mia ci ho messo circa mezz'ora...aha...
"Eredir":
[quote="Dubbioso"]Grazie mille ma...mi spiegheresti meglio questo passaggio??
Il primo pezzo si scrive semplicemente $sin(x^2)=Im(e^{ix^2})$.
Per il secondo utilizzo la formula di De Moivre ottenendo $e^{i2x} = (cosx+isinx)^2 = cos^2x-sin^2x+2isinxcosx = 1-2sin^2x+2isinxcosx$, per cui scrivo $sin^2x = Re(1/2-1/2e^{i2x}) = Im(i/2-i/2e^{i2x})$.
Quindi in definitiva $sin(x^2)-sin^2x = Im(e^{ix^2}+i/2e^{i2x}-i/2)$.
Quindi la funzione da integrare è $f(z)={e^{iz^2}+i/2e^{i2z}-i/2}/{z^4}$, di cui alla fine dovremo prendere la parte immaginaria.[/quote]
premessa: magari escludete questo messaggio fino a quando non si è fatto l'integrale, se pensate di stare agendo in modo corretto.
... (cioè a me sembra corretto il metodo, eh...)contenuto: non capisco questa voglia di passare alle parti immaginarie
... non basta jordane + piccolo cerchio sulla STESSA FUNZIONE complessificata? questo dubbioso mica me li fa i calcoli ps: mi piacerebbe parlarne una sera su msn eredir, in mezzo ad un'altra marea di cazzate!
"Thomas":
contenuto: non capisco questa voglia di passare alle parti immaginarie
Ad occhio direi di sì, bisogna vedere però di che ordine è il polo nell'origine.
Tra l'altro è qui che ho fatto l'errore, l'ho considerato erroneamente come polo semplice.
"Thomas":
ps: mi piacerebbe parlarne una sera su msn eredir, in mezzo ad un'altra marea di cazzate!
Certo, non mancherà occasione.
"Eredir":
[quote="Thomas"]contenuto: non capisco questa voglia di passare alle parti immaginarie
Ad occhio direi di sì, bisogna vedere però di che ordine è il polo nell'origine.
Tra l'altro è qui che ho fatto l'errore, l'ho considerato erroneamente come polo semplice.
"Thomas":
ps: mi piacerebbe parlarne una sera su msn eredir, in mezzo ad un'altra marea di cazzate!
Certo, non mancherà occasione.
[/quote]In effetti il problema poi è li...se vai a fare il calcolo dei residui...molti portano uguali a 0...
"Eredir":
Quindi la funzione da integrare è $f(z)={e^{iz^2}+i/2e^{i2z}-i/2}/{z^4}$, di cui alla fine dovremo prendere la parte immaginaria.
Questa funzione ausiliaria non va bene, poiché presenta in $0$ un polo di ordine $4$ e pertanto non sono soddisfatte le ipotesi per applicare il lemma del piccolo cerchio.
Tuttavia la si può modificare aggiungendo dei termini reali i quali non modificheranno la parte immaginaria e dunque saranno ininfluenti ai fini del risultato. Si può così ottenere la nuova funzione ausiliaria
$(e^(jx^2)+j/2e^(j2x)-j/2-1+x)/x^4$
Tale funzione presenta in $0$ un polo semplice ed è dunque possibile applicare il lemma del piccolo cerchio.
Per quanto riguarda la mancanza del secondo termine dell'integrale, credo sia dovuta alla presenza di $e^(jx^2)$, a cui magari non si possono estendere risultati che sono scontati quando la $x$ non è elevata al quadrato.
"Kroldar":
Questa funzione ausiliaria non va bene, poiché presenta in $0$ un polo di ordine $4$ e pertanto non sono soddisfatte le ipotesi per applicare il lemma del piccolo cerchio.
Tuttavia la si può modificare aggiungendo dei termini reali i quali non modificheranno la parte immaginaria e dunque saranno ininfluenti ai fini del risultato. Si può così ottenere la nuova funzione ausiliaria
$(e^(jx^2)+j/2e^(j2x)-j/2-1+x)/x^4$
Tale funzione presenta in $0$ un polo semplice ed è dunque possibile applicare il lemma del piccolo cerchio.
Avevo fatto la stessa modifica dopo aver risposto a Thomas. Anche in questo caso però viene a mancare il secondo termine.
"Kroldar":
Per quanto riguarda la mancanza del secondo termine dell'integrale, credo sia dovuta alla presenza di $e^(jx^2)$, a cui magari non si possono estendere risultati che sono scontati quando la $x$ non è elevata al quadrato.
Questo in effetti è un po' strano. Il lemma del piccolo cerchio si applica senza problemi, la parte sul raggio si stima con il lemma di Jordan e un cambio di variabile per il pezzo in $z^2$, quindi non vedo dove nasca il problema.
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