Integrale da risolvere
Ciao a tutti, siccome sono un po' arruginito...chi mi sa aiutare a risolvere quest'integrale:
$\int_{-infty}^{infty} e^{-2x^{2}} dx$
Grazie 1k!!!
$\int_{-infty}^{infty} e^{-2x^{2}} dx$
Grazie 1k!!!
Risposte
bè, usa il criterioo fondamentale,cioè prova a fare il limite..vedrai che uno tende a + ∞ quindi diverge
anch'io sono un po' arrugginita, ma mi ricorda tanto quello della curva a campana...
adattando una dimostrazione dell'integrale di $e^(-x^2)$, posso provare a suggerire lo stesso metodo per questo.
se chiamo $A=int_(-oo)^(+oo)\e^(-2x^2)\dx$, sarà anche $A=int_(-oo)^(+oo)\e^(-2y^2)\dy$.
allorail prodotto dei due integrali sarà $A^2$.
trasformando in integrale doppio e introducendo le coordinate polari dovresti ottenere:
$A^2=int_(-oo)^(+oo)\int_(-oo)^(+oo)\e^(-2(x^2+y^2))\dx dy=int_0^(2pi)\int_0^(+oo)\e^(-2r^2)r dr d theta=int_0^(2pi)\[-1/4 e^(-2r^2)]_0^(+oo)\d theta=int_0^(2pi)\1/4 d theta=pi/2$
da cui $A=sqrt(pi/2)=(sqrt(2pi))/2$
spero di non aver commesso errori nell'adattamento della dimostrazione. ciao.
adattando una dimostrazione dell'integrale di $e^(-x^2)$, posso provare a suggerire lo stesso metodo per questo.
se chiamo $A=int_(-oo)^(+oo)\e^(-2x^2)\dx$, sarà anche $A=int_(-oo)^(+oo)\e^(-2y^2)\dy$.
allorail prodotto dei due integrali sarà $A^2$.
trasformando in integrale doppio e introducendo le coordinate polari dovresti ottenere:
$A^2=int_(-oo)^(+oo)\int_(-oo)^(+oo)\e^(-2(x^2+y^2))\dx dy=int_0^(2pi)\int_0^(+oo)\e^(-2r^2)r dr d theta=int_0^(2pi)\[-1/4 e^(-2r^2)]_0^(+oo)\d theta=int_0^(2pi)\1/4 d theta=pi/2$
da cui $A=sqrt(pi/2)=(sqrt(2pi))/2$
spero di non aver commesso errori nell'adattamento della dimostrazione. ciao.
Grazie ad adaBTTLS...francamente non pensavo fosse così complesso da risolvere tanto da scomodare gli integrali doppi, cmq mi interessava avere la conferma che non divergesse.
Ciao
Ciao
prego. ciao.
"vik":
Ciao a tutti, siccome sono un po' arruginito...chi mi sa aiutare a risolvere quest'integrale:
$\int_{-infty}^{infty} e^{-2x^{2}} dx$
Grazie 1k!!!
L'integrale noto da sfruttare è $\int_{-infty}^{infty} e^{-x^{2}} dx=sqrt(pi)$ noto come integrale di Gauss
Effettuando la sostituzione $x=t/(sqrt(2))$ da cui $dx=(dt)/(sqrt(2))$ si ha:
$\int_{-infty}^{infty} e^{-2x^{2}} dx=1/(sqrt(2)) \int_{-infty}^{infty} e^{-t^{2}} dt=1/(sqrt(2))*sqrt(pi)=sqrt(pi/2)$
beh, la coincidenza del risultato mi conforta.
la mia era la "dimostrazione" dell'integrale di Gauss adattata alla funzione "al quadrato".
la mia era la "dimostrazione" dell'integrale di Gauss adattata alla funzione "al quadrato".
Grazie anche a Nicola...senza offesa adaBTTLS, ma questa la riesco a digerire meglio... 
decisamente sono d'accordo, però devi dare per "buono" il risultato dell'integrale di Gauss... che quindi devi conoscere "a priori" e suppongo anche dimostrare... o almeno aver dimostrato in altre occasioni.
Giusto...onestamente ho risposto d'istinto, ma adesso devo trovare la dimostrazione e aggiungo: cribbio!! (cmq spero di trovarla in rete)
"vik":
Giusto...onestamente ho risposto d'istinto, ma adesso devo trovare la dimostrazione e aggiungo: cribbio!! (cmq spero di trovarla in rete)
La dimostrazione è sulla falsa riga di quella di adaBTTLS, si usano le coordinate polari (volendo essere precisi, bisognerebbe invocare anche il teorema di Fubini).
io ho usato la dimostrazione che cerchi, adattandola al caso del tuo integrale!
però io ho usato quella riportata nel testo di probabilità, francamente non so se è anche in qualche testo di analisi che ho!
non c'è il "2" all'esponente che quindi fa cambiare leggermente la derivata dell'esponenziale e quindi anche la costante da lasciare fuori del simbolo di integrale.
comunque, elgiovo mi ha dato l'idea. da questa pagina di wikipedia sul teorema di Fubini, si "accede" all'integrale di Gauss:
http://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_di_Fubini
ciao.
però io ho usato quella riportata nel testo di probabilità, francamente non so se è anche in qualche testo di analisi che ho!
non c'è il "2" all'esponente che quindi fa cambiare leggermente la derivata dell'esponenziale e quindi anche la costante da lasciare fuori del simbolo di integrale.
comunque, elgiovo mi ha dato l'idea. da questa pagina di wikipedia sul teorema di Fubini, si "accede" all'integrale di Gauss:
http://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_di_Fubini
ciao.
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