Integrale da equazione.

[turtle87crociato]

Risolvendo un'equazione differenziale (per la cronaca: $y'' - 2y' - 3y = (frac{4x - 1}{x^2})*e^(3x) - 3$), mi esce fuori questo integrale:

$int e^(4x)* (frac{4x - 1}{x^2}) dx$.

Voi come lo risolvereste? Io ho pensato a spezzare in due e quindi ricondurre la mia difficoltà a questo:

$int e^(4x)*frac{4x}{x^2} dx$, però il problema si ripresenta.

[ciampax]

Potrei, di grazia, sapere come ti è venuto fuori questo integrale? (Anche per sommi capo: di fare i conti, adesso, non ho voglia).

[adaBTTLS1]

io sono al termine di una giornata super-stressata. mi sembra troppo bello per essere vero, forse ho commesso qualche errore, comunque ti conviene provare e verificare: io ho provato per parti, due volte, la prima prendendo la frazione come fattore differenziale, la seconda l'esponenziale...
non mi pare vero, ma mi si sono semplificati 4 termini, di cui due integrali opposti, e rimarrebbe solo $1/x*e^(4x)$. io non mi fiderei... vedi tu. ciao.

[turtle87crociato]

Potrei, di grazia, sapere come ti è venuto fuori questo integrale? (Anche per sommi capo: di fare i conti, adesso, non ho voglia).

Procedendo con Lagrange, ma evidentemente il mio dubbio era fondato (errori di calcolo). Spesso capita che gli errori di calcolo si reiterano, quando si fa un'esercizio più volte, nella stessa giornata (o ora, o decina di minuti, anche). Nel mio caso è successo. Riproverò, domattina.

Dall' equazione caratteristica vengono fuori, $e^(3x)$ e $e^(-x)$.
Come dicevo, con Lagrange vengono fuori, come funzioni da integrare, una funzione scomponibile per somma e facilmente integrabile, e quella che ho postato io.

Per Ada: Ho provato anche io a prendere vari fattori differenziali, ma niente.

[ciampax]

Allora, la soluzione dell'omogenea è $y(x)=C_1 e^{3x}+C_2 e^{-x}$. Con la variazione delle costanti devi imporre che

$C'_1\ e^{3x}+C'_2\ e^{-x}=0,\qquad 3 C'_1\ e^{3x}-C'_2\ e^{-x}=\frac{4x-1}{x^2}\ e^{3x}-3$

da cui

$C'_1=\frac{4x-1}{4x^2}-\frac{3}{4} e^{-3x}$

$C'_2=\frac{3}{4} e^x-\frac{4x-1}{4x^2}\ e^{4x}$

A questo punto $C_1=\log|x|+1/{4x}+e^{-3x}/{4}$ mentre per $C_2$ bisogna calcolare l'integrale

$I=\int\frac{4x-1}{4x^2}\ e^{4x}\ dx$.

ponendo $4x=t$ hai $dx={dt}/4$ e come diceva Ada

$I=\int\frac{t-1}{t^2}\ e^t\ dt=\int(1/t-1/t^2)e^t\ dt=\int e^t/t\ dt-\int e^t/t^2\ dt=\int e^t/t\ dt+e^t/t-\int e^t/t\ dt=e^t/t=\frac{e^{4x}}{4x}$.

Allora $C_2=3/4 e^x-\frac{e^{4x}}{4x}$ e quindi la soluzione particolare è

$y_p=(\log|x|+1/{4x}+e^{-3x}/{4}) e^{3x}+(3/4 e^x-\frac{e^{4x}}{4x}) e^{-x}=e^{3x}\log|x|+{e^{3x}}/{4x}+1/4+3/4-e^{3x}/{4x}=e^{3x}\log|x|+1$.

[turtle87crociato]

Ragazzi, scusate, avevo capito che Ada non si trovasse, proprio come me. Comunque, la sostituzione ce l'avevo davanti agli occhi, avevo anche provato a farla, ma, troppo scoraggiato, non sono andato in fondo. Un po' come chi sente a priori una cosa come inutile per buona probabilità. Devo insistere, allora, sul "prendere coraggio".