Integrale da analisi complessa (senza rette di diramazione!)
Ho il seguente integrale da risolvere con l'analisi complessa:
$int_(0)^(oo) 1/((x+a)*((lnx)^2+pi^2)) dx $
.. e non mi riesce in alcun modo! Ho notato che c'è un polo di ordine due in $z=-1$, ed un polo di ordine uno in $z=-a$, e quindi pensavo di prendere una grande semicirconferenza sul semipiano immaginario positivo, ed un percorso diviso in tre sezioni sull'asse reale, dove al termine di ognuno c'è la piccola semicirconferenza che circonda ogni polo.
L'integrale sulla grande semicirconferenza mi viene zero, ed anche quello sulla semicirconferenza piccolina relativa al polo di secondo grado mi viene zero, tuttavia il terzo integrale viene complesso. In sostanza il risultato che ottengo è un numero complesso (cosa che non può ovviamente essere!). D'altra parte però, ripensandoci, la funzione non è pari e quindi non si potrebbe fare in questo modo... e facendola solo nel primo quadrante viene un integrale sulla parte immaginaria che non è facilmente risolvibile...
Ho provato a risolverlo sia con Maple16 che con Wolfram, ma entrambi non danno risultato per $a$ (forse perché non si può risolvere per ogni $a$?)... aiuto
$int_(0)^(oo) 1/((x+a)*((lnx)^2+pi^2)) dx $
.. e non mi riesce in alcun modo! Ho notato che c'è un polo di ordine due in $z=-1$, ed un polo di ordine uno in $z=-a$, e quindi pensavo di prendere una grande semicirconferenza sul semipiano immaginario positivo, ed un percorso diviso in tre sezioni sull'asse reale, dove al termine di ognuno c'è la piccola semicirconferenza che circonda ogni polo.
L'integrale sulla grande semicirconferenza mi viene zero, ed anche quello sulla semicirconferenza piccolina relativa al polo di secondo grado mi viene zero, tuttavia il terzo integrale viene complesso. In sostanza il risultato che ottengo è un numero complesso (cosa che non può ovviamente essere!). D'altra parte però, ripensandoci, la funzione non è pari e quindi non si potrebbe fare in questo modo... e facendola solo nel primo quadrante viene un integrale sulla parte immaginaria che non è facilmente risolvibile...
Ho provato a risolverlo sia con Maple16 che con Wolfram, ma entrambi non danno risultato per $a$ (forse perché non si può risolvere per ogni $a$?)... aiuto
Risposte
Nell'ipotesi che sia a>0 e' opportuno integrare lungo il percorso di colore rosso in figura...
[img]http://www.123homepage.it/u/i65772875._szw380h285_.jpg.jfif[/img]
All'interno del percorso vi e' solo il polo in z=-a mentre il punto di diramazione in z=0 cade in ogni caso fuori del percorso...
cordiali saluti
$\chi$ $\sigma$
[img]http://www.123homepage.it/u/i65772875._szw380h285_.jpg.jfif[/img]
All'interno del percorso vi e' solo il polo in z=-a mentre il punto di diramazione in z=0 cade in ogni caso fuori del percorso...
cordiali saluti
$\chi$ $\sigma$
Ciao chisigma! Grazie per aver risposto di nuovo.
Per quanto riguarda il percorso da te indicato, gli integrali sulle due circonferenze dovrebbero fare zero, ma i due percorsi prossimi all'asse reale non si annullano a vicenda? Non ci sono rette di diramazione quindi in teoria non dovrebbero essere introdotte le fasi o sbaglio? In ogni caso le fasi dovrebbero differire di $2pi$ e quindi farebbero $1$ in ogni caso.
Per quanto riguarda il percorso da te indicato, gli integrali sulle due circonferenze dovrebbero fare zero, ma i due percorsi prossimi all'asse reale non si annullano a vicenda? Non ci sono rette di diramazione quindi in teoria non dovrebbero essere introdotte le fasi o sbaglio? In ogni caso le fasi dovrebbero differire di $2pi$ e quindi farebbero $1$ in ogni caso.
Rettifico, la retta di diramazione è sull'asse reale negativo, ma dal calcolo dei residui vien fuori un integrale negativo per valori di a>1 (o qualcosa del genere), che è impossibile. O peggio spunta fuori un termine immaginario. Ho provato ad usare la sostituzione $ln(x)=t$, con la quale rimangono solo tre poli ed in teoria l'integrale dovrebbe essere di facile risoluzione, tuttavia anche in questo caso vien fuori negativo o con la parte immaginaria....
Premesso non si tratta di un 'animale domestico', due cose e' meglio Tu tenga ben presente...
a) all'interno al percorso da me indicato la funzione ha un solo polo semplice in z=-a...
b) ogni volta che si esegue una 'rotazione completa', l'argomento della z risulta incrementato o decrementato di $2\ \pi$ a seconda se il cammino e' percorso in senso orario o antiorario...
cordiali saluti
$\chi$ $\sigma$
a) all'interno al percorso da me indicato la funzione ha un solo polo semplice in z=-a...
b) ogni volta che si esegue una 'rotazione completa', l'argomento della z risulta incrementato o decrementato di $2\ \pi$ a seconda se il cammino e' percorso in senso orario o antiorario...
cordiali saluti
$\chi$ $\sigma$
Scusami, ma il polo di ordine due in $-1$?
$ln(x)^2+pi^2=0$ in $x=e^(i*pi)$ ed $x=e^(-i*pi)$
$ln(x)^2+pi^2=0$ in $x=e^(i*pi)$ ed $x=e^(-i*pi)$
Ops! 
... devo ammettere che hai ragione e per questo credo sia meglio togliere di mezzo il logaritmo [funzione alquanto scomoda da trattare in analisi complessa...] con la sostituzione $\ln x = t$ con la quale l'integrale diviene...
$\int_{0}^{\infty} \frac{d x}{(x+a)\ (\ln ^{2} x + \pi^{2})} = \int_{- \infty}^{+ \infty} \frac{e^{t]}{(e^{t}+a)\ (t^{2} + \pi^{2})}\ dt$ (1)
cordiali saluti
$\chi$ $\sigma$
... devo ammettere che hai ragione e per questo credo sia meglio togliere di mezzo il logaritmo [funzione alquanto scomoda da trattare in analisi complessa...] con la sostituzione $\ln x = t$ con la quale l'integrale diviene... $\int_{0}^{\infty} \frac{d x}{(x+a)\ (\ln ^{2} x + \pi^{2})} = \int_{- \infty}^{+ \infty} \frac{e^{t]}{(e^{t}+a)\ (t^{2} + \pi^{2})}\ dt$ (1)
cordiali saluti
$\chi$ $\sigma$
Eh sì, è proprio quello che avevo provato a fare!
In questo caso ci sono due poli, uno in $t=ln(a)+ipi$, e l'altro, di grado due, in $z=-1$. L'integrale sulla grande semi-circonferenza fa chiaramente zero, idem quello sulla semi-circonferenza piccolina al centro (dato che l'esponenziale non è definito in zero!).. l'integrale sui due percorsi reali (unito nel limite) dovrebbe essere uguale a $2ipi*(R1+R2)$, dove $R1$ ed $R2$ sono chiaramente i residui dei due poli. Com'è possibile, tuttavia, che venga un risultato negativo, o peggio ancora, complesso?
Definisco: $F(z) = f(z)*(z+1)^2$, allora:
$R1 = lim_(e^t -> -1) (partial^1 F)/(partial x^1) = 1/(1+ae)$
$R2=lim_(e^t -> -a) f(z)(e^t+a)=-a/(ln(a)(ln(a)+2ipi)$
ovvero:
$2pii(R1+R2)=2pii(1/(1+ae)-a/(ln(a)(ln(a)+2ipi)))$
In questo caso ci sono due poli, uno in $t=ln(a)+ipi$, e l'altro, di grado due, in $z=-1$. L'integrale sulla grande semi-circonferenza fa chiaramente zero, idem quello sulla semi-circonferenza piccolina al centro (dato che l'esponenziale non è definito in zero!).. l'integrale sui due percorsi reali (unito nel limite) dovrebbe essere uguale a $2ipi*(R1+R2)$, dove $R1$ ed $R2$ sono chiaramente i residui dei due poli. Com'è possibile, tuttavia, che venga un risultato negativo, o peggio ancora, complesso?
Definisco: $F(z) = f(z)*(z+1)^2$, allora:
$R1 = lim_(e^t -> -1) (partial^1 F)/(partial x^1) = 1/(1+ae)$
$R2=lim_(e^t -> -a) f(z)(e^t+a)=-a/(ln(a)(ln(a)+2ipi)$
ovvero:
$2pii(R1+R2)=2pii(1/(1+ae)-a/(ln(a)(ln(a)+2ipi)))$
Purtroppo le cose sono un poco piu' complicate!... la funzione $f(z)= \frac{e^{z}}{(e^{z}+a)\ (z^{2} + \pi^{2})}$ ha un polo in $z= i\ \pi$, un polo in $z=-i\ \pi$ e infiniti poli in $z= \ln (-a) + i\ 2\ \pi\ n$...
cordiali saluti
$\chi$ $\sigma$
cordiali saluti
$\chi$ $\sigma$
Ah ho capito... allora nevermind. Ciao integrale. 
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