Integrale curvilineo non converge.
Ciao devo svolgere il seguente integrale curvilineo:
\(\displaystyle \int_{\gamma} ( \frac{1}{x^{2} +y^{2}} + \frac{1}{x^{2} + (y-3)^{2}}) (-(y-3)dx+xdy) \)
Dove \(\displaystyle \gamma \) è l'arco di circonferenza centrata in \(\displaystyle (0,0) \) e di raggio \(\displaystyle 6 \), che parte da \(\displaystyle (0,-6) \), passa per \(\displaystyle (6,0) \) e finisce in \(\displaystyle (3\sqrt{3},3) \).
Ho disegnato la curva voglio provare a farlo con Gauss-Green. Chiamo \(\displaystyle A = \frac{-y+3}{x^{2} +y^{2}} + \frac{-y+3}{x^{2}+(y-3)^{2}} dx \)
e \(\displaystyle B = \frac{x}{x^{2} +y^{2}} + \frac{x}{x^{2} +(y-3)^{2}} \)
Derivo B rispetto a x e A rispetto a y. Dopo aver derivato calcolo \(\displaystyle \frac{dB}{x} - \frac{dA}{y} = \frac{6y}{(x^{2}+y^{2})^{2}} \)
Chiudo il dominio D con 3 curve (non scrivo le parametrizzazioni) vi dico come:
\(\displaystyle \gamma_{1} \) è il segmento che va dal punto \(\displaystyle (3\sqrt{3},3) \) al punto \(\displaystyle (3\sqrt{3},0) \)
\(\displaystyle \gamma_{2} \) è il segmento che va dal punto \(\displaystyle (3\sqrt{3},0) \) a \(\displaystyle (0,0) \)
\(\displaystyle \gamma_{3} \) è il segmento che va dal punto \(\displaystyle (0,0) \) al punto \(\displaystyle (0,-6) \)
D lo divido in due:
\(\displaystyle D_{1} = 3\sqrt{3} \leq x \leq 6; 0 \leq y \leq \sqrt{36-x^{2}} \)
\(\displaystyle D_{2} = 0 \leq x \leq 6; -\sqrt{36-x^{2}} \leq y \leq 0 \)
Il problema è che quando faccio l'integrale doppio su \(\displaystyle D_{2} \) esso non converge , quindi non ho un risultato. Non mi era mai capitato in questo tipo di esercizi, eppure credo di aver fatto bene.
Ps: So che ci sono altri metodi per svolgere questo esercizio ma mi è venuto in mente questo e all'esame sarebbe stata la stessa cosa. Vorrei riuscire a capire perchè non converge quell'integrale.
Grazie delle eventuali risposte.
\(\displaystyle \int_{\gamma} ( \frac{1}{x^{2} +y^{2}} + \frac{1}{x^{2} + (y-3)^{2}}) (-(y-3)dx+xdy) \)
Dove \(\displaystyle \gamma \) è l'arco di circonferenza centrata in \(\displaystyle (0,0) \) e di raggio \(\displaystyle 6 \), che parte da \(\displaystyle (0,-6) \), passa per \(\displaystyle (6,0) \) e finisce in \(\displaystyle (3\sqrt{3},3) \).
Ho disegnato la curva voglio provare a farlo con Gauss-Green. Chiamo \(\displaystyle A = \frac{-y+3}{x^{2} +y^{2}} + \frac{-y+3}{x^{2}+(y-3)^{2}} dx \)
e \(\displaystyle B = \frac{x}{x^{2} +y^{2}} + \frac{x}{x^{2} +(y-3)^{2}} \)
Derivo B rispetto a x e A rispetto a y. Dopo aver derivato calcolo \(\displaystyle \frac{dB}{x} - \frac{dA}{y} = \frac{6y}{(x^{2}+y^{2})^{2}} \)
Chiudo il dominio D con 3 curve (non scrivo le parametrizzazioni) vi dico come:
\(\displaystyle \gamma_{1} \) è il segmento che va dal punto \(\displaystyle (3\sqrt{3},3) \) al punto \(\displaystyle (3\sqrt{3},0) \)
\(\displaystyle \gamma_{2} \) è il segmento che va dal punto \(\displaystyle (3\sqrt{3},0) \) a \(\displaystyle (0,0) \)
\(\displaystyle \gamma_{3} \) è il segmento che va dal punto \(\displaystyle (0,0) \) al punto \(\displaystyle (0,-6) \)
D lo divido in due:
\(\displaystyle D_{1} = 3\sqrt{3} \leq x \leq 6; 0 \leq y \leq \sqrt{36-x^{2}} \)
\(\displaystyle D_{2} = 0 \leq x \leq 6; -\sqrt{36-x^{2}} \leq y \leq 0 \)
Il problema è che quando faccio l'integrale doppio su \(\displaystyle D_{2} \) esso non converge , quindi non ho un risultato. Non mi era mai capitato in questo tipo di esercizi, eppure credo di aver fatto bene.
Ps: So che ci sono altri metodi per svolgere questo esercizio ma mi è venuto in mente questo e all'esame sarebbe stata la stessa cosa. Vorrei riuscire a capire perchè non converge quell'integrale.
Grazie delle eventuali risposte.
Risposte
Grazie mille della risposta, un'ultima precisazione: E' possibile sapere in anticipo dove l'integrale potrebbe non convergere? Da come svolgo l'esercizio me ne accorgo solo dopo aver fatto i calcoli e ciò all'esame potrebbe danneggiarmi, non riuscirei a impostare di nuovo l'eserczio in modo corretto (per mancanza di tempo).
Grazie ancora !
Grazie ancora !
Grazie scusa, ho capito. Devo rileggermi la teoria visto che alcune cose me le dimentico.
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