Integrale Curvilineo - Lavoro
Allora... non ho ben capito come funziona lo svolgimento dei problemi riguardanti gli integrali curviline, ed il calcolo del lavoro svolto da una campo vettoriale lungo una curva... potreste gentilmente dire cosa devo fare praticamente nello svolgere (ad esempio) questo problema:
Calcolare il lavoro compiuto dal campo F(x,y) = 2yi - xj lungo la curva chiusa Y = Y1 U Y2 U Y3, percorsa in verso orario, dove:
Y1 è l'arco di parabola y = x^2 - 9 che si trova al di sotto dell'asse delle x
Y2 è l'arco della circonferenza x^2 + y^2 = 9 situata nel 2° quadrante
Y3 è il segmento avente i punti A(0,3) e B(3,0) quali estremi
Grazie infinitamente a chi mi aiuterà!
Calcolare il lavoro compiuto dal campo F(x,y) = 2yi - xj lungo la curva chiusa Y = Y1 U Y2 U Y3, percorsa in verso orario, dove:
Y1 è l'arco di parabola y = x^2 - 9 che si trova al di sotto dell'asse delle x
Y2 è l'arco della circonferenza x^2 + y^2 = 9 situata nel 2° quadrante
Y3 è il segmento avente i punti A(0,3) e B(3,0) quali estremi
Grazie infinitamente a chi mi aiuterà!
Risposte
Ho trovato questa formula per il calcolo del lavoro (o integrale di linea di seconda specie):
L = ∫ [F1(x(t),y(t),z(t))x'(t) + F2(x(t),y(t),z(t))y'(t) + F3(x(t),y(t),z(t))z'(t)] dt
l'integrale è definito tra a e b
Il problema è che non ho bene capito come si applica questa formula... come faccio?
L = ∫ [F1(x(t),y(t),z(t))x'(t) + F2(x(t),y(t),z(t))y'(t) + F3(x(t),y(t),z(t))z'(t)] dt
l'integrale è definito tra a e b
Il problema è che non ho bene capito come si applica questa formula... come faccio?
Non ti svolgo tutto il lavoro io, ti dico soltanto un paio di tricks:
1) Calcoli le parametrizzazioni di Y1 Y2 Y3.
Y1 è per esempio: $\gamma_1(t) = (- t, t^2 - 9)$, con $t \in [-3,3]$
le altre te le lascio a te.
2) Calcoli gli integrali nelle regioni in cui la curva è regolare, ovvero in Y1, Y2, Y3.
Il lavoro è definito, quando hai una parametrizzazione regolare (e quindi $C^1$) $\gamma(t)= (\gamma_1(t), gamma_2(t))$, con $t \in [a,b]$:
$\int_(gamma) F(x,y) ds := \int_a^b F(\gamma_1(t),\gamma_2(t)) * (\gamma_1'(t), \gamma_2'(t)) dt$
dove con "$*$" indico il prodotto scalare euclideo.
Ovvero per Y1:
$\int_{Y1} F(x,y) ds = \int_(-3)^3 (2(t^2 - 9), t) *(-1, 2t) dt = \int_(-3)^3 (-2t^2 +18 + 2t^2) dt = 18 \int_(-3)^3 dt = 18*6 = 108$
3) Sommi i tre integrali per ottenere il lavoro totale.
1) Calcoli le parametrizzazioni di Y1 Y2 Y3.
Y1 è per esempio: $\gamma_1(t) = (- t, t^2 - 9)$, con $t \in [-3,3]$
le altre te le lascio a te.
2) Calcoli gli integrali nelle regioni in cui la curva è regolare, ovvero in Y1, Y2, Y3.
Il lavoro è definito, quando hai una parametrizzazione regolare (e quindi $C^1$) $\gamma(t)= (\gamma_1(t), gamma_2(t))$, con $t \in [a,b]$:
$\int_(gamma) F(x,y) ds := \int_a^b F(\gamma_1(t),\gamma_2(t)) * (\gamma_1'(t), \gamma_2'(t)) dt$
dove con "$*$" indico il prodotto scalare euclideo.
Ovvero per Y1:
$\int_{Y1} F(x,y) ds = \int_(-3)^3 (2(t^2 - 9), t) *(-1, 2t) dt = \int_(-3)^3 (-2t^2 +18 + 2t^2) dt = 18 \int_(-3)^3 dt = 18*6 = 108$
3) Sommi i tre integrali per ottenere il lavoro totale.
Grazie infinitamente!
P.S.
Scusami volevo chiederti come hai fatto
∫(2(t^2-9),t)⋅(-1,2t)dt=∫(-2t^2+18+2t^2)dt
non ho capito quali operazioni hai svolto...
P.S.
Scusami volevo chiederti come hai fatto
∫(2(t^2-9),t)⋅(-1,2t)dt=∫(-2t^2+18+2t^2)dt
non ho capito quali operazioni hai svolto...
Il normalissimo prodotto scalare euclideo.
$(a,b) * (c,d) = ac + bd$
$(a,b) * (c,d) = ac + bd$
Ok - grazie mille!
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