Integrale curvilineo in coordinate polari

[emaz92]

Un campo di forze piano abbia in coordinate polari l' espressione $F(r,theta)=-4sin(theta)i+4sin(theta)j$.
Si calcoli il lavoro che esso compie quando una particella si muove dal punto $(1,0)$ all' origine lungo la spirale di equazione polare $r=e^(-theta)$

Io ho fatto così, vorrei sapere se va bene: ho parametrizzato la spirale $x(theta)=e^(-theta)cos(theta)$ e $y(theta)=e^(-theta)sin(theta)$. Poi il lavoro è uguale a:$int_(C)-4sin(theta)d(x(theta))+4sin(theta)d(y(theta))=int_(0)^(pi/2)-4sin(theta)d(e^(-theta)cos(theta))+4sin(theta)d(e^(-theta)sin(theta))=int_0^(pi/2)8e^(-theta)cos(theta)sin(theta)d(theta)$ che alla fine mi viene $8/5 +8e^(-pi/2)/5$ che è molto simile al libro, ma non uguale infatti il risultato che dà è $8/5$

[ciampax]

Sbagli gli estremi di integrazione: se $x=e^{-\theta}\cos\theta,\ y=e^{-\theta}\sin\theta$, allora devi trovare i valori di $\theta$ per cui $(x,y)=(1,0)$ e $(x,y)=(0,0)$.

[emaz92]

"ciampax":Sbagli gli estremi di integrazione: se $x=e^{-\theta}\cos\theta,\ y=e^{-\theta}\sin\theta$, allora devi trovare i valori di $\theta$ per cui $(x,y)=(1,0)$ e $(x,y)=(0,0)$.

ci ho pensato ma ancora non ci sono arrivato

[ciampax]

emaz, emaz, emaz... pensa al fatto che sei in coordinate polari, ok? Quindi $x=\rho\cos\theta,\ y=\rho\sin\theta$. Adesso per avere il primo punto deve essere $\rho\cos\theta=1,\ \rho\sin\theta=0$. Se elevi al quadrato i due termini e sommi ottieni $\rho^2=1$ e quindi $\rho=1$. Ne segue che $\cos\theta=1,\ \sin\theta=0$ e quindi che $\theta=0$.

Supponiamo ora che $\rho\cos\theta=0,\ \rho\sin\theta=0$. Se elevi al quadrato i due termini e sommi ottieni $\rho^2=0$ e quindi $\rho=e^{-\theta}=0$. Domanda: per quale valore di $\theta\in\mathbb{R}$ si ha questa uguaglianza?