Integrale curvilineo forma differenziale
L'integrale curvilineo è della forma differenziale: $(y/(x^2+y^2))dx-(x/(x^2+y^2))dy$ esteso all'ellisse di centro (0;0) e semiassi $a$ e $b$ con a>b percorsa in senso orario. Parametrizzando l'ellisse(in senso antiorario) ho $x=acost$ $y=bsint$ con t fra 0 e $2pi$. Essendo l'integrale in senso orario devo poi mettere un meno davanti all'integrale. Facendo i calcoli ottengo poi da calcolare l'integrale in dt di: $1/(a^2(cost)^2+b^2(sint)^2)$. Come si calcola?
Risposte
Se, per caso, la forma differenziale fosse chiusa, potresti cambiare il cammino di integrazione...
La forma è chiusa, se fosse definita su un semplicemente connesso sarebbe anche esatta e quindi l'integrale sarebbe nullo perchè è su una curva chiusa. In questo caso però la forma è definita su $R^2-{(0,0)}$ che non è semplicemente connesso. Posso spezzare però l'ellisse in 4 archi,che si trovano nei quattro quadranti del piano(escluso lo (0,0) in cui non è definita). Essendo ogni quadrante(escluso sempre lo (0,0)) un semplicemente connesso posso applicare poi per ognuno dei 4 integrali curvilinei la risoluzione con la primitiva della forma differenziale. Mi confermi che è questo il procedimento da utilizzare?
Ho trovato una primitiva nei quattro quadranti che è per tutti e 4: $f(x,y)=arctan(x/y)$
Andando in snso orario e partendo dal punto$(a,0)$, il primo arco ha come primo estremo $(a,0)$e come secondo estremo $(0,-b)$. Quando vado a calcolare
f(a,0) devo risolvere un integrale improprio siccome viene$arctan(a/0)$ ? Siccome sto nel quarto quadrante sarebbe uno 0+ l'ordinata, e quindi ottengo $arctan(-oo)$=$-pi/2$. E' giusto procedere così?
Andando in snso orario e partendo dal punto$(a,0)$, il primo arco ha come primo estremo $(a,0)$e come secondo estremo $(0,-b)$. Quando vado a calcolare
f(a,0) devo risolvere un integrale improprio siccome viene$arctan(a/0)$ ? Siccome sto nel quarto quadrante sarebbe uno 0+ l'ordinata, e quindi ottengo $arctan(-oo)$=$-pi/2$. E' giusto procedere così?
Ho sbagliato a scrivere, intendevo 0meno l'ordinata nel quarto quadrante...
Dal momento che la forma è chiusa, puoi sostituire la tua ellisse con una qualsiasi curva che faccia lo stesso numero di giri con lo stesso orientamento (ad esempio la circonferenza unitaria percorsa una sola volta in senso orario).
Ma questo lo posso fare solo se sto in un semplicemente connesso. In questo caso devo per forza spezzare l'ellisse in 4 parti e precisamente considerare gli archi dell'ellisse che vanno:
1) da (a,0) a (-b,0)
2)da (-b,0) a (-a,0)
3) da (-a,0) a (0,b)
4) da (0,b) a (a,0)
Considerando ad esempio l'arco al punto 4), siccome sto nel primo quadrante che è un semplicemente connesso potrei sostituire una qualsiasi curva che va da (0,b) a (a,0), ad esempio un segmento, ma non la circonferenza di centro l'origine perchè non esiste una circonferenza di centro (0,0) passante per (0,b) e (a,0).
1) da (a,0) a (-b,0)
2)da (-b,0) a (-a,0)
3) da (-a,0) a (0,b)
4) da (0,b) a (a,0)
Considerando ad esempio l'arco al punto 4), siccome sto nel primo quadrante che è un semplicemente connesso potrei sostituire una qualsiasi curva che va da (0,b) a (a,0), ad esempio un segmento, ma non la circonferenza di centro l'origine perchè non esiste una circonferenza di centro (0,0) passante per (0,b) e (a,0).
Qualcuno potrebbe confermarmi che la risoluzione dell'esercizio mediante la primitiva e gli integrali impropri è corretto? Ho provato a calcolare i 4 integrali curvilinei su ognuno dei 4 archi con la primitiva, mi viene ognuno $pi/2$, quindi la soluzione dell'esercizio è $2pi$ come viene indicato anche dal libro...
"lupomatematico":
Ma questo lo posso fare solo se sto in un semplicemente connesso.
E questo chi lo dice?
Se la forma fosse esatta le circuitazioni sarebbero tutte nulle; se è chiusa, puoi cambiare cammino nel senso descritto nel mio post precedente.
In $RR^2$ si tratta di una semplice applicazione delle formule di Green.
Infatti, in generale se ho una forma esatta in un semplicemente connesso D, l'integrale su una qualsiasi curva chiusa in D della forma è sempre nullo. Nell'esercizio la curva è chiusa ma non posso concludere che l'integrale è nullo perchè la forma differenziale non è definita su un semplicemente connesso.
L'esercizio si trova nel capitolo delle forme differenziali, quindi lo devo risolvere o direttamente calcolando l'integrale o sfruttando le primitive...
L'esercizio si trova nel capitolo delle forme differenziali, quindi lo devo risolvere o direttamente calcolando l'integrale o sfruttando le primitive...
Non mi sembra di avere mai detto che il tuo integrale è nullo.
Ho solo detto che può essere calcolato lungo un cammino più conveniente dal punto di vista computazionale.
Prova infatti a calcolarlo lungo la circonferenza unitaria centrata nell'origine (percorsa in senso orario) e vedi cosa viene.
Ho solo detto che può essere calcolato lungo un cammino più conveniente dal punto di vista computazionale.
Prova infatti a calcolarlo lungo la circonferenza unitaria centrata nell'origine (percorsa in senso orario) e vedi cosa viene.
Viene lo stesso risultato, ma formalmente non è corretto sostituire all'ellisse la circonferenza... In generale se la forma è esatta in D e hai una curva tutta contenuta in D di punto iniziale P e punto finale Q, allora l'integrale curvilineo della forma non cambia se consideri una qualunque curva che va da P a Q.
Nel caso dell'esercizio ho una curva(ellisse) che parte da (0,0) e finisce in (0,0). Non puoi sostituirgli una curva(circonferenza) che va da (0,0) sempre in (0,0) perchè la forma NON è esatta in $R^2-(0,0)$
Nel caso dell'esercizio ho una curva(ellisse) che parte da (0,0) e finisce in (0,0). Non puoi sostituirgli una curva(circonferenza) che va da (0,0) sempre in (0,0) perchè la forma NON è esatta in $R^2-(0,0)$
Ma l'esercizio non diceva di verificare se la forma è esatta o meno...Dovevo solo calcolare quell'integrale curvilineo.
"lupomatematico":
Ma l'esercizio non diceva di verificare se la forma è esatta o meno...Dovevo solo calcolare quell'integrale curvilineo.
ho cancellato il messaggio perchè non mi ero accorto che avevi risp alle 12:38. Comunque continuo a non vedere il problema, tu con quell' integrale hai trovato il valore di quella forma quando esegue un percorso chiuso. l' elisse ed il cerchio sono omotopi tra loro, quindi si possono sostituire uno all' altro.
Ho sbagliato a scrivere, l'ellisse ha punto iniziale (a,0) e punto finale sempre (a,0).
Quindi stai dicendo che l'integrale di una forma differenziale lungo un qualsiasi percorso chiuso ha sempre lo stesso valore? Mi sembra che non sia vero però in generale...
"lupomatematico":
Quindi stai dicendo che l'integrale di una forma differenziale lungo un qualsiasi percorso chiuso ha sempre lo stesso valore? Mi sembra che non sia vero però in generale...
non sono stato io a scrivere i teoremi sulle forme diff
cmq il teorema dice (lo sto leggendo dal quaderno, con a seguire il tuo stesso esercizio): Siano $E in R^n$ aperto connesso, $w$ forma diff. chiusa in $E$, $\gamma_0$ e $\gamma_1$ circuiti omotopi in $E$. Allora: $\int_{\gamma_0}w = \int_{\gamma_1}w$
In questo caso, i due circuiti si trovano effettivamente sull' aperto connesso $RR - {0,0}$, a meno che tu non prenda una circonferenza di raggio nullo..
"lupomatematico":
Viene lo stesso risultato, ma formalmente non è corretto sostituire all'ellisse la circonferenza...
Ti ho già spiegato che è corretto fare questa sostituzione; si tratta di un'applicazione del teorema di Green.
1) Per farla semplice, considera il caso di due circonferenze concentriche $C_1$ e $C_2$ centrate nell'origine, percorse una volta nello stesso verso; chiama $D$ la corona circolare corrispondente.
Se $\omega(x,y) = f(x,y) dx + g(x,y)dy$ è la tua forma differenziale, per il teorema di Green hai che
$\int\int_D (g_x - f_y)dx dy = \int_{\partial D^+} \omega$.
L'integrale doppio a sinistra è nullo, dal momento che $\omega$ è una forma chiusa.
Di conseguenza, anche l'integrale a destra è nullo; questo ti dice che $\int_{C_1}\omega = \int_{C_2}\omega$.
In particolare, l'integrale di linea sulla circonferenza $C_r$ centrata nell'origine e percorsa una sola volta in senso orario è indipendente da $r$.
2) In generale, sia $\Gamma$ una qualsiasi curva chiusa e semplice, percorsa una sola volta in senso orario, che circonda l'origine (senza passarci); prendi $r>0$ sufficientemente piccolo in modo che $C_r$ sia tutta contenuta nella regione racchiusa da $\Gamma$.
Ripeti il ragionamento di prima prendendo $D$ la regione del piano compresa fra $\Gamma$ e $C_r$; ottieni che
$\int_{\Gamma}\omega = \int_{C_r}\omega = \int_{C_1} \omega$.
(L'ultimo passaggio segue dal primo punto.)
Non ero a conoscenza di questo teorema. Giusto per comprendere meglio il tutto, se effettuo l'integrale dell'esercizio su un quadrato di centro l'origine allora verrà sempre $2pi$ ?
Certamente; come ti ho dimostrato sopra, se $\gamma_1$ e $\gamma_2$ sono entrambe curve chiuse che girana una sola volta attorno all'origine in senso orario, allora
$\int_{\gamma_1}\omega = \int_{C_1}\omega = \int_{\gamma_2}\omega$.
(Come è stato osservato da stefano, l'integrale dipende solo dalla classe di omotopia rispetto all'orgine della curva.)
$\int_{\gamma_1}\omega = \int_{C_1}\omega = \int_{\gamma_2}\omega$.
(Come è stato osservato da stefano, l'integrale dipende solo dalla classe di omotopia rispetto all'orgine della curva.)
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