Integrale curvilineo e di superficie di prima specie?
Salve ragazzi, vi pongo questa domanda anche se dubito che qualcuno mi risponda:
Perché nelle definizioni degli integrali sopra elencati richiediamo che la curva e la superfici siano regolare. Per esempio nel primo caso è comprensibile la richiesta che la derivata prima della curva sia continua, ma non capisco che fastidio ci dia la derivata nulla ?
Tra l'altro su internet per esempio introducendo l'integrale di superficie di prima specie richiede che questa sia regolare ma noi a lezione con questa abbiamo calcolato l'area della sfera che non è regolare ?
Perché nelle definizioni degli integrali sopra elencati richiediamo che la curva e la superfici siano regolare. Per esempio nel primo caso è comprensibile la richiesta che la derivata prima della curva sia continua, ma non capisco che fastidio ci dia la derivata nulla ?
Tra l'altro su internet per esempio introducendo l'integrale di superficie di prima specie richiede che questa sia regolare ma noi a lezione con questa abbiamo calcolato l'area della sfera che non è regolare ?
Risposte
Sono domande interessanti e naturali. Se proprio vuoi vedere come si lavora con queste cose in condizioni di minima regolarità devi aprire un libro di teoria geometrica della misura, come uno di questi:
https://notesfromkevinrvixie.org/2012/1 ... he-book-2/
Non è che me ne intenda di queste cose, ma qualche anno fa ho seguito un corso di frattali e ho dovuto sudare sul primo libro, che è particolarmente infernale. Invece in ipotesi di regolarità la teoria è relativamente semplice e intuitiva, specialmente dopo che uno ha studiato qualche fondamento di geometria Riemanniana. È per questo che uno richiede la regolarità.
Quanto all'annullamento della derivata, pensa un attimo a questo esempio estremo: considera la curva \(\gamma\colon[0, 1]\to\mathbb R^2\) data da \(\gamma(t)=(0,0)\). Secondo la definizione questa è una curva, ma lo è per modo di dire, perché in effetti si tratta di un puntino, ovvero di un oggetto "di dimensione zero" (qualsiasi cosa questo significhi). Noi non vogliamo che una roba così sia considerata una curva.
Si possono fare tutta una serie di esempi di patologie di questo tipo e tutti hanno in comune il fatto che la derivata della parametrizzazione si annulla. Per questo, ci mettiamo d'accordo sul considerare questi esempi come "non regolari", in modo da poter costruire una teoria che non deve ad ogni passo stare a cavillare su tutti i possibili casi brutti.
È chiaro, però, che c'è un certo grado di flessibilità. Se una curva è sempre regolare tranne che per un istante, in cui la derivata si annulla, uno può calcolare lo stesso un integrale su quella curva, dividendola in due. Se una superficie è sempre regolare tranne che su un insieme "di misura nulla" (qualsiasi cosa questo significhi), come nel caso della parametrizzazione della sfera a cui fai riferimento, stesso discorso: quello che accade sull'insieme singolare è trascurabile, e quindi non crea problemi di integrabilità.
https://notesfromkevinrvixie.org/2012/1 ... he-book-2/
Non è che me ne intenda di queste cose, ma qualche anno fa ho seguito un corso di frattali e ho dovuto sudare sul primo libro, che è particolarmente infernale. Invece in ipotesi di regolarità la teoria è relativamente semplice e intuitiva, specialmente dopo che uno ha studiato qualche fondamento di geometria Riemanniana. È per questo che uno richiede la regolarità.
Quanto all'annullamento della derivata, pensa un attimo a questo esempio estremo: considera la curva \(\gamma\colon[0, 1]\to\mathbb R^2\) data da \(\gamma(t)=(0,0)\). Secondo la definizione questa è una curva, ma lo è per modo di dire, perché in effetti si tratta di un puntino, ovvero di un oggetto "di dimensione zero" (qualsiasi cosa questo significhi). Noi non vogliamo che una roba così sia considerata una curva.
Si possono fare tutta una serie di esempi di patologie di questo tipo e tutti hanno in comune il fatto che la derivata della parametrizzazione si annulla. Per questo, ci mettiamo d'accordo sul considerare questi esempi come "non regolari", in modo da poter costruire una teoria che non deve ad ogni passo stare a cavillare su tutti i possibili casi brutti.
È chiaro, però, che c'è un certo grado di flessibilità. Se una curva è sempre regolare tranne che per un istante, in cui la derivata si annulla, uno può calcolare lo stesso un integrale su quella curva, dividendola in due. Se una superficie è sempre regolare tranne che su un insieme "di misura nulla" (qualsiasi cosa questo significhi), come nel caso della parametrizzazione della sfera a cui fai riferimento, stesso discorso: quello che accade sull'insieme singolare è trascurabile, e quindi non crea problemi di integrabilità.
Ciao, grazie mille per la risposta. Questa può anche essere la risposta al fatto di richiedere che le curve siano regolari in un cambio di parametrizzazione ? Noi ci siamo limitati a dire che le curve regolari hanno una loro parametrizzazione regolare e le altre ? Boh ... Io studio fisica e quindi questi argomenti sono introdotti in modo molto meccanico, credi che i libri da te citati possano essere d'aiuto?
"MementoMori":Se una curva è regolare in una parametrizzazione lo è in tutte. Non ti preoccupare, adesso ti senti confuso ma devi solo fare pratica. Fai molti esercizi e molti calcoli.
Ciao, grazie mille per la risposta. Questa può anche essere la risposta al fatto di richiedere che le curve siano regolari in un cambio di parametrizzazione ? Noi ci siamo limitati a dire che le curve regolari hanno una loro parametrizzazione regolare e le altre ? Boh ... Io studio fisica e quindi questi argomenti sono introdotti in modo molto meccanico,
credi che i libri da te citati possano essere d'aiuto?
No.
Ho capito che la parametrizzazione di una curva regolare è regolare, ma io mi stavo chiedendo se esiste anche una parametrizzazione per le curve non regolari ?
Certamente. "Parametrizzazione" significa genericamente "applicazione da \(I\) in \(\mathbb R^n\)", dove \(I\) è un intervallo. (Oppure cose analoghe per superfici, volumi, etc...).
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