Integrale curvilineo dove sbaglio?

[smaug1]

Se ho il seguente integrale

$\int_\gamma \sqrt{x^2 + y^2}\ ds$ con $x= e^t \cos t$ e $y = e^t \sin t$ per $t\in [0, 2\pi]$

$\gamma'(t) = [(e^t (\cost - \sint)), (e^t (\cost + \sin t))]$

$||\gamma(t)|| = e^t$

Il tutto significherebbe $\int e^(2t) dt$ facendo una sotituzione arrivo a $1/2 (e^(4 \pi) - 1)$ mentre il libro dice $\sqrt{2}/2 (e^(4 \pi) - 1)$

Grazie mille

[totissimus]

\( \displaystyle \displaystyle {\left|{\left|\gamma{\left({t}\right)}\right|}\right|}=\sqrt{2}{{e}}^{{t}}\)

[smaug1]

Allora

$||\gamma'(t)|| = \sqrt{e^(2t)(- 2 \sint \cost) + e^(2t) (2\sint \cost)}$ la somma degli altri termini nelle parentesi sarebbe pari a $1$

così?

Grazie mille

[totissimus]

\(\displaystyle {\left|{\left|\gamma'{\left({t}\right)}\right|}\right|}=\sqrt{e^{2t}\left(\cos(t)-\sin(t)\right)^2+e^{2t}\left( \cos(t)+\sin(t)\right)^2}\)

\( \displaystyle =\sqrt{e^{2t}\left( \cos^2(t)-2 \cos(t) \sin(t)+\sin^2(t)\right)+e^{2t}\left( \cos^2(t)+2 \cos(t) \sin(t)+\sin^2(t)\right)}\)

\( \displaystyle =\sqrt{e^{2t}\left( 1-2 \cos(t) \sin(t)\right)+e^{2t}\left( 1+2 \cos(t) \sin(t)\right)}\)

\( \displaystyle = \sqrt{e^{2t}\left( 1-2 \cos(t) \sin(t)+1+2 \cos(t) \sin(t)\right)}=\sqrt{2e^{2t}}=\sqrt{2}e^t\)

[smaug1]

sisi perdonami delle volte sono distratto nel fare i conti, ho semplificato $1...$

Grazie mille