Integrale curvilineo di una forma differenziale lineare
Salve a tutti, è da un pò che cerco di risolvere un esercizio con scarsi risultati. L'esercizio è il seguente:
Calcolare $\int_{\gamma}^{} (z-y)dx + (x-z)dy + (y+z)dz $ dove $\gamma$ è l'intersezione della superficie cilindrica $x^2+y^2=1$ con il piano $z-y=1$
Il mio problema sta proprio nella ricerca dell'intersezione, ho provato a mettere entrambe le equazioni a sistema ma ho ottenuto scarsi risultati, poi ho anche provato a scrivere le due superfici sotto forma di equazioni parametriche ma non ne sono venuto a capo
.
Sarei molto grato a chiunque volesse darmi una mano, mi basta anche solo un suggerimento, un input
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Calcolare $\int_{\gamma}^{} (z-y)dx + (x-z)dy + (y+z)dz $ dove $\gamma$ è l'intersezione della superficie cilindrica $x^2+y^2=1$ con il piano $z-y=1$
Il mio problema sta proprio nella ricerca dell'intersezione, ho provato a mettere entrambe le equazioni a sistema ma ho ottenuto scarsi risultati, poi ho anche provato a scrivere le due superfici sotto forma di equazioni parametriche ma non ne sono venuto a capo
.Sarei molto grato a chiunque volesse darmi una mano, mi basta anche solo un suggerimento, un input
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Risposte
prima di cercare la parametrizzazione, prova a vedere se la forma differenziale è esatta, così sai già che la circuitazione è nulla lungo qualunque percorso chiuso. quell'intersezione ti dà proprio un circuito..
Grazie mille per la risposta, ma ho controllato, la forma differenziale non è chiusa e quindi non può essere esatta....
Penso di aver risolto.
Per il teorema di Stokes nello spazio:
$\int_{\gamma}^{} (z-y)dx + (x-z)dy + (y+z)dz $ = $\int_{S}^{} (rot F, V) d\sigma$
dove $F$ è il campo vettoriale associato alla forma differenziale, $S$ è la superficie formata dalla parte di piano ($z=y+1$) con $(x,y) in {(x,y) in R : x^2 + y^2 = 1 }$ e $v$ è il versore normale a $S$.
Procedendo in questo modo riesco ad arrivare a una soluzione, ma è il modo giusto di operare???
Per il teorema di Stokes nello spazio:
$\int_{\gamma}^{} (z-y)dx + (x-z)dy + (y+z)dz $ = $\int_{S}^{} (rot F, V) d\sigma$
dove $F$ è il campo vettoriale associato alla forma differenziale, $S$ è la superficie formata dalla parte di piano ($z=y+1$) con $(x,y) in {(x,y) in R : x^2 + y^2 = 1 }$ e $v$ è il versore normale a $S$.
Procedendo in questo modo riesco ad arrivare a una soluzione, ma è il modo giusto di operare???
devo ancora arrivare a quella parte..
si, idea del rotore è buona.. però mi sembra che tu ti sia espresso male. S è la superficie sul piano xy data dalla proiezione dell' intersione tra $x^2 + y^2 + 1$ e $z = y + 1$. S quindi è chiaramente la superficie di quel cerchio di raggio 1. V invece, non è il vettore normale ad S, bensì è il vettore normale all' intersezione delle superfici scritte prima.. Quindi rimane il problema di definire quell' intersezione..
si, in effetti successivamente ho considerato la superficie S come una superficie cartesiana con equazioni parametriche:
$\{(x(u,v)=u),(y(u,v)=v),(z(u,v)=v+1):}$
con $ (u,v) in D={(u,v) in R^2 : u^2 + v^2 =1 } $ ed ho calcolato l'integrale superficiale applicando la formula.
P.S. la $&$ dovrebbe essere una virgola...
$\{(x(u,v)=u),(y(u,v)=v),(z(u,v)=v+1):}$
con $ (u,v) in D={(u,v) in R^2 : u^2 + v^2 =1 } $ ed ho calcolato l'integrale superficiale applicando la formula.
P.S. la $&$ dovrebbe essere una virgola...
ah va bene..
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