Integrale curvilineo di una forma differenziale
salve a tutti, vorrei capire bene alcuni aspetti rispetto a questa tipologia di esercizi, attraverso il seguente esercizio.
Dire se la seguente forma differenziale $\omega = 1/(x+y)dx -x/((x+y)y)dy$ è esatta in $A ={(x,y)inR^2:y!=0,x+y!=0}$
Calcolare l'integrale di $\omega$ lungo la curva $\gamma$ di equazioni parametriche
${x = t; y= t^2+1$ $t in [0,1]$ percorsa nel verso da $B=(0,1)$, $C=(1,2)$
Eseguendo le derivate rispettivamente per $y$ e per $x$ dei due elementi di $\omega$, rilevo che è esatta, anche perchè $A$ è stellato rispetto ad un suo qualsiasi punto $x_0$
Mi sono anche calcolato il potenziale di $\omega$ che è uguale a $f(x,y) = log(x+y) - log(y)$
Per quanto riguara l'integrale curvilineo di $\omega$ dovrei sostituire a $x$ e $y$ e a $dx$ $dy$ i rispettivi parametri.
e integrare tra $0$ e $1$, tuttavia ho visto che se la forma differenziale è esatta posso sfruttare alcune proprietà.
Per esempio in un esercizio simile, si calcola il valore degli estremi della curva e si semplificano i parametri.
Utilizzando lo stesso approccio posso semplificare la curva con la seguente parametrizzazione : $x =t $ e $y=t+1$?
Visto che gli estremi sono appunto $(0,1)$ e $(1,2)$.
E' possibile sfruttare il fatto di aver calcolato il potenziale di $\omega$ e se si come dati gli intervalli in cui dovrei integrare.
Ho le idee un pò confuse e vorrei fare chiarezza.
Grazie in anticipo
Dire se la seguente forma differenziale $\omega = 1/(x+y)dx -x/((x+y)y)dy$ è esatta in $A ={(x,y)inR^2:y!=0,x+y!=0}$
Calcolare l'integrale di $\omega$ lungo la curva $\gamma$ di equazioni parametriche
${x = t; y= t^2+1$ $t in [0,1]$ percorsa nel verso da $B=(0,1)$, $C=(1,2)$
Eseguendo le derivate rispettivamente per $y$ e per $x$ dei due elementi di $\omega$, rilevo che è esatta, anche perchè $A$ è stellato rispetto ad un suo qualsiasi punto $x_0$
Mi sono anche calcolato il potenziale di $\omega$ che è uguale a $f(x,y) = log(x+y) - log(y)$
Per quanto riguara l'integrale curvilineo di $\omega$ dovrei sostituire a $x$ e $y$ e a $dx$ $dy$ i rispettivi parametri.
e integrare tra $0$ e $1$, tuttavia ho visto che se la forma differenziale è esatta posso sfruttare alcune proprietà.
Per esempio in un esercizio simile, si calcola il valore degli estremi della curva e si semplificano i parametri.
Utilizzando lo stesso approccio posso semplificare la curva con la seguente parametrizzazione : $x =t $ e $y=t+1$?
Visto che gli estremi sono appunto $(0,1)$ e $(1,2)$.
E' possibile sfruttare il fatto di aver calcolato il potenziale di $\omega$ e se si come dati gli intervalli in cui dovrei integrare.
Ho le idee un pò confuse e vorrei fare chiarezza.
Grazie in anticipo
Risposte
c'è qualcosa che non mi torna: affermi che il dominio sia stellato e poi trovi un potenziale che non è definito su tutto l'insieme...
"walter89":
c'è qualcosa che non mi torna: affermi che il dominio sia stellato e poi trovi un potenziale che non è definito su tutto l'insieme...
Grazie della risposta, ma anche il potenziale è definito in $A$ infatti $A={(x,y) in R^2, y !=0,x+y!=0}$
"emanuele78":
Grazie della risposta, ma anche il potenziale è definito in $A$ infatti $A={(x,y) in R^2, y !=0,x+y!=0}$
Nel potenziale ci sono i logaritmi, qual è il loro dominio?
"walter89":
[quote="emanuele78"]
Grazie della risposta, ma anche il potenziale è definito in $A$ infatti $A={(x,y) in R^2, y !=0,x+y!=0}$
Nel potenziale ci sono i logaritmi, qual è il loro dominio?[/quote]
Per quanto riguarda il potenziale hai ragione, in quanto non è definito per alcuni valore di $A$, precisamente $x+y <0$ e $y<0$
Ma il teorema sulla esattezza delle forme differenziali fa riferimento a queste e non alla primitiva delle forme differenziali.
Pertanto l'insieme $A$ deve essere un aperto stellato rispetto ad un suo qualunque punto $x_0$ ma solo in relazione a $\omega$ e non, sembrerebbe, rispetto a $f(x,y)$ primitiva di $\omega$.
Almeno così mi sembra di leggere.
Se l'insieme $A$ è stellato c'è un teorema che ti garantisce l'esattezza della forma differenziale se è verificata la condizione di irritazionalità del campo vettoriale associato (quello che hai verificato facendo le derivate), mentre se $A$ non è stellato la forma differenziale può essere soltanto localmente esatta in un sottoinsieme di $A$ (dove è definito il potenziale).
Forse non ti è chiaro quali sono gli insiemi stellati perchè questo non mi sembra che lo sia...
Invece per il calcolo dell'integrale non ci sono problemi perchè la curva si trova nella regione dove $omega$ è esatta
Forse non ti è chiaro quali sono gli insiemi stellati perchè questo non mi sembra che lo sia...
Invece per il calcolo dell'integrale non ci sono problemi perchè la curva si trova nella regione dove $omega$ è esatta
"walter89":
Se l'insieme $A$ è stellato c'è un teorema che ti garantisce l'esattezza della forma differenziale se è verificata la condizione di irritazionalità del campo vettoriale associato (quello che hai verificato facendo le derivate), mentre se $A$ non è stellato la forma differenziale può essere soltanto localmente esatta in un sottoinsieme di $A$ (dove è definito il potenziale).
Forse non ti è chiaro quali sono gli insiemi stellati perchè questo non mi sembra che lo sia...
Invece per il calcolo dell'integrale non ci sono problemi perchè la curva si trova nella regione dove $omega$ è esatta
Walter innanzitutto grazie.
ok ho capito, quindi il fatto che $A$ non contenga alcuni punto non ci dà la certezza che la forma differenziale sia esatta.
Questo adesso mi è chiaro. Se fosse stata $\omega$ definita in tutto $R^2$ allora sarebbe stata esatta?
ho capito quello che dici circa il calcolo dell'integrale di $\omega$ essendo nel tratto positivo e quindi in cui è esatta localmente la forma differenziale, ma vorrei capire meglio se il mio metodo di risoluzione che ha previsto una riparametrizzazione utilizzando quella proprietà sui punti estremi è corretta.
Grazie
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