Integrale curvilineo di una forma differenziale
Ho questo esercizio:
Calcolare:
$\int_\gamma((2xcosx)/(2+x^2+x^4)+xy)dx+(siny log(2+y^2+y^4))dy$
dove $\gamma$ è l'ellisse di equazione $x^2+y^2/4=1$, orientata nel verso orario.
Il testo mi dà un suggerimento: si spezzi la forma differenziale in modo opportuno.
Non riesco a capire però come spezzarla; in generale qual è il criterio da dover seguire in questi casi?
Poi una volta spezzata devo verificare l'esattezza della forma? O devo calcolare direttamente l'integrale curvilineo?
Scusate per le troppe domande ma non riesco a trovare esempi concreti che mi potrebbero illuminare. Spero in un vostro aiuto. Grazie.
Calcolare:
$\int_\gamma((2xcosx)/(2+x^2+x^4)+xy)dx+(siny log(2+y^2+y^4))dy$
dove $\gamma$ è l'ellisse di equazione $x^2+y^2/4=1$, orientata nel verso orario.
Il testo mi dà un suggerimento: si spezzi la forma differenziale in modo opportuno.
Non riesco a capire però come spezzarla; in generale qual è il criterio da dover seguire in questi casi?
Poi una volta spezzata devo verificare l'esattezza della forma? O devo calcolare direttamente l'integrale curvilineo?
Scusate per le troppe domande ma non riesco a trovare esempi concreti che mi potrebbero illuminare. Spero in un vostro aiuto. Grazie.
Risposte
Analizza la forma $(2xcosx)/(2+x^2+x^4)dx+sinylog(2+y^2+y^4)dy$.
Ok. Grazie al tuo indizio iniziale credo di essere arrivato alla conclusione.
Ho considerato la forma differenziale
$\omega=(2xcosx)/(2+x^2+x^4)dx+senylog(2+y^2+y^4)dy$
Posti
$a=(2xcosx)/(2+x^2+x^4)$
$b=senylog(2+y^2+y^4)$
$(\partiala)/(\partialy)=0$
$(\partialb)/(\partialx)=0$
$(\partiala)/(\partialy)=(\partialb)/(\partialx)$
Cio' implica che la forma differenziale è chiusa e, dato che è definita in tutto $RR^2$, che è un aperto semplicemente connesso, posso dire che è esatta.
Per il teorema di caratterizzazione delle forme differenziali, data una curva chiusa $\gamma$ (che in questo caso è la nostra ellisse)
Se $\omega$ è esatta $rArr\int_gamma\omegads=0$
Quindi l'integrale si riduce al calcolo di
$\int_\gammaxydx$
sulla curva $\gamma$ (l'ellisse) parametrizzata in questo modo
$\gamma={(x(t)=cost),(y(t)=2sent):}t in [0,2\pi]$
$\int_\gammaxydx=\int_0^(2\pi)(cost)(2sent)(-sent)dt=-2\int_0^(2\pi)costsen^2tdt=-2[(sen^3t)/3]_0^(2\pi)=0$
E' corretto?
Ho considerato la forma differenziale
$\omega=(2xcosx)/(2+x^2+x^4)dx+senylog(2+y^2+y^4)dy$
Posti
$a=(2xcosx)/(2+x^2+x^4)$
$b=senylog(2+y^2+y^4)$
$(\partiala)/(\partialy)=0$
$(\partialb)/(\partialx)=0$
$(\partiala)/(\partialy)=(\partialb)/(\partialx)$
Cio' implica che la forma differenziale è chiusa e, dato che è definita in tutto $RR^2$, che è un aperto semplicemente connesso, posso dire che è esatta.
Per il teorema di caratterizzazione delle forme differenziali, data una curva chiusa $\gamma$ (che in questo caso è la nostra ellisse)
Se $\omega$ è esatta $rArr\int_gamma\omegads=0$
Quindi l'integrale si riduce al calcolo di
$\int_\gammaxydx$
sulla curva $\gamma$ (l'ellisse) parametrizzata in questo modo
$\gamma={(x(t)=cost),(y(t)=2sent):}t in [0,2\pi]$
$\int_\gammaxydx=\int_0^(2\pi)(cost)(2sent)(-sent)dt=-2\int_0^(2\pi)costsen^2tdt=-2[(sen^3t)/3]_0^(2\pi)=0$
E' corretto?
Sì, mi pare tutto corretto.
Salve,
scusate se mi unisco a questo topic dopo qualche mese che è stato chiuso, ma una cosa dell'esercizio non mi è molto chiara.
Nelle premesse si dice che l'ellisse è orientata nel verso orario...In che modo questa considerazione ha influenzato i calcoli?
Perchè sapevo(potrei sicuramente sbagliarmi) che nel caso in cui si prenda l'orientamento in senso orario, bisogna cambiare il segno...
scusate se mi unisco a questo topic dopo qualche mese che è stato chiuso, ma una cosa dell'esercizio non mi è molto chiara.
Nelle premesse si dice che l'ellisse è orientata nel verso orario...In che modo questa considerazione ha influenzato i calcoli?
Perchè sapevo(potrei sicuramente sbagliarmi) che nel caso in cui si prenda l'orientamento in senso orario, bisogna cambiare il segno...
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