Integrale Curvilineo di una forma differenziale.
Salve io ho un problema con questo :
$\int_(\gamma) (1-sin(sqrt(x^2+y^2))*(xdx+ydy))/(sqrt(x^2+y^2)) $
da calcolare su $\gamma$ che e' la spirale logaritmica di equazione $ p = e^\theta $ . Vorrei passare alle coordinate polari per semplificare la forma e una volta ricavata la primitiva calcolare l'integrale. Ma purtroppo non mi trovo con il risultato del testo. Potete spiegarmi se il ragionamento che ho illustrato e' corretto? Almeno come inizio, poi se corretto lo posto cosi' vediamo piu' da vicino l'orrore commesso. Grazie
Fabio/Suppish
$\int_(\gamma) (1-sin(sqrt(x^2+y^2))*(xdx+ydy))/(sqrt(x^2+y^2)) $
da calcolare su $\gamma$ che e' la spirale logaritmica di equazione $ p = e^\theta $ . Vorrei passare alle coordinate polari per semplificare la forma e una volta ricavata la primitiva calcolare l'integrale. Ma purtroppo non mi trovo con il risultato del testo. Potete spiegarmi se il ragionamento che ho illustrato e' corretto? Almeno come inizio, poi se corretto lo posto cosi' vediamo piu' da vicino l'orrore commesso. Grazie
Fabio/Suppish
Risposte
Mostra il cambio di coordinate!
Innanzitutto grazie per l'interesse, chiedo scusa ma ho sbagliato a postare esercizio, sto fondendo, il problema è lo stesso ma l'esercizio è un altro. Chiedo scusa umilmente 
$ int_(γ)^() (x/(sqrt(x^2+y^2))dx+y/(sqrt(x^2+y^2))dy) $
La curva è rappresentata da : x=t-sen(t)*cos(t) y = 4sen(t).
Dunque le vie sono due a quanto ho capito.
Possibilità prima è cercare l'integrale della forma, possibilità seconda è invece usare la formula $ int_(3π//4)^(π // 4 ) ( A(x(t), y(t))*x'(t ) + B(x(t), y(t))*y'(t )) dt $ . Ora usando il secondo metodo arrivo alla determinazione di un integrale che nemmeno il signor Wolfram riesce a risolvere, il primo metodo non sembra essere conveniente. L'integrale irrisolvibile è il seguente :
$ int_(3π//4)^(π // 4 ) ((t-sentcost)(2sen^2t)+16sentcost)/(sqrt(t^2+sen^2tcos^2t-2sentcost+16sent))dt $
$ int_(γ)^() (x/(sqrt(x^2+y^2))dx+y/(sqrt(x^2+y^2))dy) $
La curva è rappresentata da : x=t-sen(t)*cos(t) y = 4sen(t).
Dunque le vie sono due a quanto ho capito.
Possibilità prima è cercare l'integrale della forma, possibilità seconda è invece usare la formula $ int_(3π//4)^(π // 4 ) ( A(x(t), y(t))*x'(t ) + B(x(t), y(t))*y'(t )) dt $ . Ora usando il secondo metodo arrivo alla determinazione di un integrale che nemmeno il signor Wolfram riesce a risolvere, il primo metodo non sembra essere conveniente. L'integrale irrisolvibile è il seguente :
$ int_(3π//4)^(π // 4 ) ((t-sentcost)(2sen^2t)+16sentcost)/(sqrt(t^2+sen^2tcos^2t-2sentcost+16sent))dt $
La forma differenziale ha caratteristiche tali da rendere possibile l'integrazione su un cammino più conveniente...
Se ho ben capito ti stai riferendo alle coordinate polari,
quindi impongo che $sqrt(x^2+y^2) = p ; x= pcosΘ ;y = psenΘ$
ma poi con la curva come mi comporto precisamente?
quindi impongo che $sqrt(x^2+y^2) = p ; x= pcosΘ ;y = psenΘ$
ma poi con la curva come mi comporto precisamente?
Mi sto riferendo al fatto che la forma differenziale è esatta in $R^2\setminus \{(0,0)\}$.
Se provo a integrare la forma lungo un circuito che allaccia l'origine (il dominio è il piano bucato ). Se non ricordo male, laddove quell'integrale faccia 0 la forma è esatta. Dovrebbe venire zero (sceliendo per comodità la circonferenza unitaria).
Quindi e' esatta ed ammette primitiva.... $ sqrt(x^2+y^2) $ , se sostituisco alla x e alle y quando mi viene dato dalla curva, mi ritrovo tra le mani il solito integrale che non riesco a risolvere....
Quindi e' esatta ed ammette primitiva.... $ sqrt(x^2+y^2) $ , se sostituisco alla x e alle y quando mi viene dato dalla curva, mi ritrovo tra le mani il solito integrale che non riesco a risolvere....
Una volta che hai un potenziale $V$, l'integrale curvilineo lungo una curva congiungente il punto $P$ al punto $Q$ vale $V(Q) - V(P)$.
@Suppish: hai provato preliminarmente che tale forma differenziale sia esatta? Condizione necessaria e sufficiente affinché una forma differenziale sia esatta è che sia nullo il suo integrale calcolato lungo una qualsiasi curva regolare chiusa sia nullo!
Verissimo....c'e' proprio un teorema che conferma cio'. Grazie per la pazienza, sei stato gentilissimo
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