Integrale curvilineo di una forma differenziale
Devo calcolare l'integrale curvilineo di $p(x,y)=y^2dx-x^2dx$ lungo l'arco di circonferenza $x^2+y^2=1$,contenuto nel primo quadrante,di primo estremo $(0,1)$ e di secondo estremo $(1,0)$.
Per prima cosa parametrizzo la curva:
$x(t)=cost$,$y(t)=sent$ con $t in [0,π/2]$.Dato che il verso deve essere orario,mentre questa rappresentazione induce un verso antiorario devo cambiare segno all'integrale(devo mettere un meno davanti):
$-int_0^(π/2) (-sen^3t-cos^3t)dt=int_0^(π/2) (sen^3t+cos^3t)dt$,la risoluzione dell'integrale è semplice ed il risultato mi viene $4/3$,mentre il libro mi porta $-4/3$,perchè?Sbaglio a cambiare segno all'integrale?O sbaglia il libro?
Grazie
Per prima cosa parametrizzo la curva:
$x(t)=cost$,$y(t)=sent$ con $t in [0,π/2]$.Dato che il verso deve essere orario,mentre questa rappresentazione induce un verso antiorario devo cambiare segno all'integrale(devo mettere un meno davanti):
$-int_0^(π/2) (-sen^3t-cos^3t)dt=int_0^(π/2) (sen^3t+cos^3t)dt$,la risoluzione dell'integrale è semplice ed il risultato mi viene $4/3$,mentre il libro mi porta $-4/3$,perchè?Sbaglio a cambiare segno all'integrale?O sbaglia il libro?
Grazie
Risposte
Guarda la derivata della parametrizzazione: cosa rappresenta?
In altre parole: se tu parametrizzi il cerchio in senso antiorario, e calcoli la sua derivata, avrai che il senso di percorrenza sarà antiorario. Ma tu vuoi percorrere la curva in senso orario...
In altre parole: se tu parametrizzi il cerchio in senso antiorario, e calcoli la sua derivata, avrai che il senso di percorrenza sarà antiorario. Ma tu vuoi percorrere la curva in senso orario...
"pat87":
Guarda la derivata della parametrizzazione: cosa rappresenta?
In altre parole: se tu parametrizzi il cerchio in senso antiorario, e calcoli la sua derivata, avrai che il senso di percorrenza sarà antiorario. Ma tu vuoi percorrere la curva in senso orario...
No scusa non ho capito.IL verso di percorrenza deve essere quello orario,la mia parametrizzazione induce un verso antiorario,fin qui tutto ok.Ma da ciò segue,dunque,che devo cambiare segno all'integrale oppure sbaglio?
Mmm...forse ho detto una cavolata...
Risolvendolo parametrizzando in senso orario, e quindi evitando queste confusioni, si ha:
$A:= { (x,y) | x^2 + y^2 = 1, x,y \ge 0\}$
$x(t) = sin(t)$, $y(t) = cos(t)$, con $t \in [0, \pi/2]$ (parametrizzazione in senso orario).
$\int_{A} p(x,y) = \int_0^{\pi/2} ( cos^2(t) , -sin^2(t)) *(cos(t), -sin(t)) dt$ (la derivata della parametrizzazione ha il verso orario, quello giusto)
$= \int_0^{\pi/2} (cos^3(t) + sin^3(t)) dt = ... = 4/3$
Mmmm boh, forse ha sbagliato il libro...
Risolvendolo parametrizzando in senso orario, e quindi evitando queste confusioni, si ha:
$A:= { (x,y) | x^2 + y^2 = 1, x,y \ge 0\}$
$x(t) = sin(t)$, $y(t) = cos(t)$, con $t \in [0, \pi/2]$ (parametrizzazione in senso orario).
$\int_{A} p(x,y) = \int_0^{\pi/2} ( cos^2(t) , -sin^2(t)) *(cos(t), -sin(t)) dt$ (la derivata della parametrizzazione ha il verso orario, quello giusto)
$= \int_0^{\pi/2} (cos^3(t) + sin^3(t)) dt = ... = 4/3$
Mmmm boh, forse ha sbagliato il libro...
non so se dico un cavolata, ma prova a cambiare gli estremi di integrazione, visto che devi parametrizzare in senso orario...
ciao
ciao
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