Integrale curvilineo di una forma differenziale

[piergiorgiof1]

Calcolare $\int_(\gamma) \omega$ dove

$\omega(x,y)=-y/(x^2+y^2) dx + x/(x^2+y^2) dy$

e $\gamma$ è la frontiera, percorsa in senso antiorario, della regione:

${(x,y) \in RR^2 : 1<=x^2+y^2<=2 , y>=0}$

Non sono sicuro di aver capito come svolgerli, ho fatto così, volevo sapere se qualcuno poteva dirmi dove sbaglio dato che il risultato mi verrebbe 0.

[img]http://www5b.wolframalpha.com/Calculate/MSP/MSP3001b2931ci10i3dh6e00000h87e464gfg7c3a0?MSPStoreType=image/gif&s=43&w=200.&h=193.&cdf=Coordinates&cdf=Tooltips[/img]

Ho chiamato gli estremi sul semiasse x positivo A e B, mentre gli altri due C e D

$\gamma_(AB)$ $\{(x=t),(y=0):}$ $\{(dx=dt),(dy=0):}$ $1<=t<=sqrt(2)$

$\gamma_(BC)$ $\{(x=2 cos \theta),(y=2 sen \theta):}$ $\{(dx=-2 sen \theta d \theta),(dy=2 cos \theta d \theta):}$ $0<=\theta<=\pi$

$\gamma_(CD)$ $\{(x=t),(y=0):}$ $\{(dx=dt),(dy=0):}$ $-sqrt(2)<=t<=-1$

$\gamma_(DA)$ $\{(x=cos \theta),(y=sen \theta):}$ $\{(dx=-sen \theta d \theta),(dy=cos \theta d \theta):}$ $\pi<=\theta<=0$

Quindi ho sostituito alla forma differenziale:

$\int_{0}^{\pi} ((-2sen \theta)^2)/4 d \theta+ \int_{0}^{\pi} ((2cos \theta)^2)/4 d \theta+ \int_{\pi}^{0} (sen^2 \theta) d \theta+ \int_{\pi}^{0} (cos^2 \theta) d \theta=0$

[RenzoDF]

Direi che il risultato nullo di quell'integrale poteva essere evidente già in partenza, senza nessuna integrazione, visto che quella forma differenziale pur non risutando esatta su tutto il piano privato dell'origine, lo è sulla sua restrizione per y >= 0 privata dell'origine.

[piergiorgiof1]

Purtroppo non so fare queste consideraziono a priori, se capitassi altri esercizi del genere il procedimento sarebbe corretto?
Scusami ma di teoria ho fatto poco ancora.