INTEGRALE CURVILINEO di un campo vettoriale
Ciao a tutti... dopo aver dimostrato che è conservativo ho dei problemi a calcolare il potenziale, mi viene una forma non integrabile e non saprei in che altro modo procedere per calcolarlo... qualcuno molto gentilmente saprebbe indicarmi come? ho l'esame tra pochi giorni.
Campo vettoriale: $g(x,y)=(ye^(x^(2)y^(2)),xe^(x^(2)y^(2)))$
Si stabilisca se è conservativo o no e si calcoli $ int_(gamma)ds $ con $gamma=[cost , sent]$ e $ 0leq t leq pi $
Grazie ancora!
Campo vettoriale: $g(x,y)=(ye^(x^(2)y^(2)),xe^(x^(2)y^(2)))$
Si stabilisca se è conservativo o no e si calcoli $ int_(gamma)
Grazie ancora!
Risposte
Se il campo è conservativo, c'è un potenziale... Ed una volta che hai un potenziale l'integrale curvilineo si risolve senza fare nemmeno un calcolo.
[xdom="gugo82"]Titolo in minuscolo, grazie.[/xdom]
[xdom="gugo82"]Titolo in minuscolo, grazie.[/xdom]
si pero non riesco a calcolarmi un potenziale per poter fare $...=f(gamma(pi))-f(gamma(0))$
Giusto... Il potenziale non si calcola elementarmente.
Ed anche l'integrale curvilineo non è semplice da calcolare esplicitamente: infatti:
\[
\int_\gamma \langle g,\tau \rangle\ \text{d} t= \int_0^\pi \left( -\sin^2 t +\cos^2 t\right)\ \exp (\sin^2t\ \cos^2t)\ \text{d} t = \int_0^\pi \cos 2t\ \exp (1/4\ \sin^2 2t)\ \text{d} t\; .
\]
Tuttavia c'è il trucco!
Infatti, sai che una primitiva \(f(x,y)\) del campo è tale che \(f_x(x,y)=ye^{x^2\ y^2}\), ergo per il Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale si ha:
\[
f(x,y) =\int_0^x ye^{\xi^2\ y^2}\ \text{d} \xi\ +\phi (y)\stackrel{\tau =\xi y}{=} \int_0^{xy} e^{\tau^2}\ \text{d} \tau\ +\phi (y)\; ,
\]
ove la funzione \(\phi\) è da determinarsi imponendo \(f_y(x,y)=xe^{x^2\ y^2}\); ma si ha:
\[
f_y(x,y) =xe^{x^2\ y^2} +\phi^\prime (y)
\]
ergo \(\phi^\prime (y)=0\) e \(\phi (y)=C\) con \(C\in \mathbb{R}\) opportuna costante.
Allora la nostra primitiva è:
\[
f(x,y):= C+\int_0^{xy} e^{\tau^2}\ \text{d} \tau
\]
e ciò importa che è possibile calcolare l'integrale curvilineo assegnato con la formula che hai detto tu.
Ed anche l'integrale curvilineo non è semplice da calcolare esplicitamente: infatti:
\[
\int_\gamma \langle g,\tau \rangle\ \text{d} t= \int_0^\pi \left( -\sin^2 t +\cos^2 t\right)\ \exp (\sin^2t\ \cos^2t)\ \text{d} t = \int_0^\pi \cos 2t\ \exp (1/4\ \sin^2 2t)\ \text{d} t\; .
\]
Tuttavia c'è il trucco!
Infatti, sai che una primitiva \(f(x,y)\) del campo è tale che \(f_x(x,y)=ye^{x^2\ y^2}\), ergo per il Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale si ha:
\[
f(x,y) =\int_0^x ye^{\xi^2\ y^2}\ \text{d} \xi\ +\phi (y)\stackrel{\tau =\xi y}{=} \int_0^{xy} e^{\tau^2}\ \text{d} \tau\ +\phi (y)\; ,
\]
ove la funzione \(\phi\) è da determinarsi imponendo \(f_y(x,y)=xe^{x^2\ y^2}\); ma si ha:
\[
f_y(x,y) =xe^{x^2\ y^2} +\phi^\prime (y)
\]
ergo \(\phi^\prime (y)=0\) e \(\phi (y)=C\) con \(C\in \mathbb{R}\) opportuna costante.
Allora la nostra primitiva è:
\[
f(x,y):= C+\int_0^{xy} e^{\tau^2}\ \text{d} \tau
\]
e ciò importa che è possibile calcolare l'integrale curvilineo assegnato con la formula che hai detto tu.
Ok! Grazie mille!
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