Integrale curvilineo di seconda specie

[xDkettyxD]

Ciao a tutti Ho da chiedervi un esercizio di analisi 2
L'esercizio chiede di calcolare l'integrale di w= (2x^3- 3x^2y+y^2)dx * (2xy - x^3 - 5)dy) , e dove V è una curva regolare a tratti che va da( 5 , - 1) a ( 1 , 2 )
Sinceramente non so nemmeno da dove partire perchè non so qual è la "faccia" della curva ahah

[xDkettyxD]

Quindi dovrei trovare le primitive di w? Perdona l'ignoranza il professore non ha mai fatto esercizi e io sto cercando di capirne un Po di più

[xDkettyxD]

Domani mattina provo a risolverlo, in tal caso posso mettere la foto dello svolgimento oppure va contro il regolamento?:)

[xDkettyxD]

Ho corretto il primo messaggio, avevo sbagliato il segno.
Ora ho provato a fare l'integrale di ω(x,y):=(2x3+3x2y+y2)dx+(2xy+x3−5)dy
Ho fatto la prima parte rispetto alla x e la seconda rispetto alla y
Mi viene:
u=(2x^4-x^3y+y^2x) + (xy^2-x^3y-5)
però non credo abbia senso questa cosa

[xDkettyxD]

"TeM":[quote="kettyslash"]Domani mattina provo a risolverlo, in tal caso posso mettere
la foto dello svolgimento oppure va contro il regolamento?

Come credo avrai già avuto modo di leggere, i passaggi vanno riportati evitando foto. Per migliorare
la scrittura ti consiglio di racchiudere le espressioni matematiche tra "due dollari" come qui indicato.

"kettyslash":Ho corretto il primo messaggio, avevo sbagliato il segno.

Perfetto. In effetti, per dare un senso all'esercizio o si cambiava il segno che avevo scritto in rosso
oppure si cambiava quello che hai corretto. Per non creare confusione anche a chi leggerà in futuro
questo topic ho uniformato la mia scrittura in base alla tua correzione.

Tutto ciò premesso, data la forma differenziale \[ \omega(x,\,y) := \left(2\,x^3 - 3\,x^2\,y+y^2\right)\text{d}x + \left(2\,x\,y - x^3-5\right)\text{d}y \] il cui dominio risulta banalmente essere \[ D \equiv \mathbb{R}^2\,, \] dal momento che \[ \frac{\partial}{\partial y}\left(2\,x^3 - 3\,x^2\,y+y^2\right) - \frac{\partial}{\partial x}\left(2\,x\,y - x^3-5\right) = 0 \; \; \; \forall \, (x,\,y) \in D \] segue che \(\omega\) è una forma differenziale chiusa in \(D\). Inoltre, essendo \(D\) un insieme semplicemente connesso
(ossia connesso, cioè senza "tagli", e senza "buchi") è possibile concludere che \(\omega\) è anche una forma differen-
ziale esatta in \(D\), ossia che esiste una famiglia di primitive \(\eta\) tale per cui risulta \(\text{d}\eta = \omega\) in tutto \(D\) (defini-
zione di forma differenziale esatta).

Assodata l'esistenza di \(\eta\) in \(D\), procediamo a determinarla: \[ \begin{aligned} & \eta(x,\,y) = \int \left(2\,x^3 - 3\,x^2\,y+y^2\right)\text{d}x = \frac{x^4}{2} - x^3\,y + x\,y^2 + c(y) \; ; \\ & \eta(x,\,y) = \int \left(2\,x\,y - x^3-5\right)\text{d}y = -5\,y-x^3\,y + x\,y^2 + c(x) \; ; \end{aligned} \] e assumendo semplicemente \(c(x) = \frac{x^4}{2} + c\), \(c(y) = -5\,y + c\) si ottiene la famiglia di primitive cercate: \[ \eta(x,\,y) = \frac{x^4}{2} - x^3\,y + x\,y^2 - 5\,y + c \] che effettivamente verifica quanto richiesto: \(\text{d}\eta = \omega\) in tutto \(D\).

A questo punto l'esercizio proposto è bello che risolto, no? [/quote]

Nel frattempo ho provato a farlo e sono contentissima perchè alla fine sono riuscita a dimostrarlo anche io alla stessa maniera, scervellandomi un po di più
L'unica cosa è che il risultato del libro è -455 mentre a me esce -445
Grazie mille comunque per tutte le dritte!!