Integrale curvilineo della seguente forma differenziale?
$ int_(gamma)^() w = int_(partial D+)^() (x^2+y^2) dx+(x^2+y^3)dy $
lungo l'ellisse di centro l'origine passante per i punti (2,0) ; (0,1)
La forma non è chiusa quindi non è nemmeno esatta. Applicando Gauss Green però mi viene che questa forma differenziale è zero e qui mi sorgono mille dubbi.
Se la forma differenziale non è esatta non dovrebbe risultare che l'integrale su qualsiasi curva chiusa è diverso da zero?
Infatti
per il teorema di caratterizzazione delle curve avrei che per ogni curva chiusa risulta che la forma è zero<->esatta...
dove sbaglio?
lungo l'ellisse di centro l'origine passante per i punti (2,0) ; (0,1)
La forma non è chiusa quindi non è nemmeno esatta. Applicando Gauss Green però mi viene che questa forma differenziale è zero e qui mi sorgono mille dubbi.
Se la forma differenziale non è esatta non dovrebbe risultare che l'integrale su qualsiasi curva chiusa è diverso da zero?
Infatti
per il teorema di caratterizzazione delle curve avrei che per ogni curva chiusa risulta che la forma è zero<->esatta...
dove sbaglio?
Risposte
Perché ti viene zero? Hai $\frac{\partial(x^2+y^2)}{\partial y}=2y$ e $\frac{\partial(x^2+y^3)}{\partial x}=2x$, quindi la loro differenza è $2x-2y$.
"Mephlip":
Perché ti viene zero? Hai $\frac{\partial(x^2+y^2)}{\partial y}=2y$ e $\frac{\partial(x^2+y^3)}{\partial x}=2x$, quindi la loro differenza è $2x-2y$.
Ciao Mephlip innanzitutto grazie per la risposta. Comunque mi viene zero perchè facendolo lungo l'ellisse, che è una curva chiusa l'integrale esce zero. Ho riprovato a farlo anche con Gauss Green ed esce la stessa cosa.
E il fatto che esca zero non riesco a spiegarmelo...
Non ho fatto i conti onestamente, pensavo ti venisse zero la funzione integranda dopo aver applicato Green-Gauss! 
Comunque appunto, il teorema dice per ogni curva chiusa; ossia deve valere per curve arbitrarie, se provi a farlo sul rettangolo $[-1,1]xx[-7,5]$ che succede?
Comunque appunto, il teorema dice per ogni curva chiusa; ossia deve valere per curve arbitrarie, se provi a farlo sul rettangolo $[-1,1]xx[-7,5]$ che succede?
"Mephlip":
Non ho fatto i conti onestamente, pensavo ti venisse zero la funzione integranda dopo aver applicato Green-Gauss!
Comunque appunto, il teorema dice per ogni curva chiusa; ossia deve valere per curve arbitrarie, se provi a farlo sul rettangolo $[-1,1]xx[-7,5]$ che succede?
Scusa per il ritardo Mephlip, comunque ecco cosa mi sfuggiva caspita. Quindi potrebbe esistere qualche curva chiusa per cui la forma differenziale non è nulla. Comunque sì, l'integrale curvilineo mi viene -24, perciò ti ringrazio.
Ma solo per curiosità come sei riuscito subito a trovare la curva chiusa per cui la forma differenziale era diversa da zero?
Ma non preoccuparti, siamo su un forum e quindi si risponde con calma anche dopo giorni volendo
Prego! Per quanto riguarda la curva chiusa, il fatto è che l'integrale doppio è composto dalla somma di due funzioni dispari e perciò gli integrali su qualsiasi insieme che presenti simmetrie rispetto a quelle variabili (cerchi, ellissi, quadrati) saranno sempre nulli.
Perciò basta prendere un rettangolo traslato in effetti sono stato anche cattivo, ti avrei reso il conto più facile se ti avessi detto $[0,1]xx[0,2]$.
Comunque a me l'integrale risulta $48$, forse o io o te abbiamo sbagliato qualche conto; in questo caso importa poco
Prego! Per quanto riguarda la curva chiusa, il fatto è che l'integrale doppio è composto dalla somma di due funzioni dispari e perciò gli integrali su qualsiasi insieme che presenti simmetrie rispetto a quelle variabili (cerchi, ellissi, quadrati) saranno sempre nulli.
Perciò basta prendere un rettangolo traslato
in effetti sono stato anche cattivo, ti avrei reso il conto più facile se ti avessi detto $[0,1]xx[0,2]$.Comunque a me l'integrale risulta $48$, forse o io o te abbiamo sbagliato qualche conto; in questo caso importa poco
"Mephlip":
Ma non preoccuparti, siamo su un forum e quindi si risponde con calma anche dopo giorni volendo
Prego! Per quanto riguarda la curva chiusa, il fatto è che l'integrale doppio è composto dalla somma di due funzioni dispari e perciò gli integrali su qualsiasi insieme che presenti simmetrie rispetto a quelle variabili (cerchi, ellissi, quadrati) saranno sempre nulli.
Perciò basta prendere un rettangolo traslato
Comunque a me l'integrale risulta $48$, forse o io o te abbiamo sbagliato qualche conto; in questo caso importa poco
Si l'integrale era 48, avevo sbagliato un segno e mi ero scordato un 2. Comunque tutto chiaro, Grazie!
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