Integrale curvilineo complesso

[Nick_931]

Salve ragazzi. Potreste darmi una mano nel risolvere questo integrale?
La traccia mi dice

Evaluate the integral $\int_{|z|} z^n Lnz dz$ where n is an integer and

1) $Ln(1)=0$
2)$Ln(-1)=\pi i$
__________________________

Io semplicemente ho parametrizzato la curva e sostituito nell'integrale nel seguente modo

$\gamma(t)=e^{it}$

$\int_{-\pi }^{\pi} (e^{itn}) (it) (e^{it}) i dt $

prendendo il ramo principale del logaritmo

cioè sono andato per calcolarmi l'integrale curvilineo, però non mi esce un risultato esatto. Qualche suggerimento?

[Seneca1]

L'integrale è fatto su $|z|= 1$? E qual è il risultato che ti è stato dato?

[Nick_931]

Si su |z|=1. Cioè

$ \int_{-\pi }^{\pi} (e^{itn}) (it) (e^{it}) i dt = \int_{-\pi }^{\pi} (e^{it(n+1)}) (it)i dt=$


$ - \int_{-\pi }^{\pi} (e^{it(n+1)}) t dt= - \frac{1}{i(n+1)} \int_{-\pi }^{\pi} (i(n+1) e^{it(n+1)}) t dt =$

$ - \frac{1}{i(n+1)} { [t e^{it(n+1)} ]_{-\pi}^{\pi}- \int_{-\pi }^{\pi} e^{it(n+1)}}=$

$ - \frac{1}{i(n+1)} { [t e^{it(n+1)} ]_{-\pi}^{\pi}- [\frac{1}{i(n+1)} e^{it(n+1)}]_{-\pi}^{\pi}}=$

$ - \frac{1}{i(n+1)} { [\pi e^{i\pi(n+1)}- (-\pi e^{-i\pi(n+1)})]- [\frac{1}{i(n+1)} [e^{i\pi(n+1)}-e^{-i\pi(n+1)}]]}=$

$ - \frac{1}{i(n+1)} { \pi e^{i\pi(n+1)} + \pi e^{-i\pi(n+1)}- \frac{1}{i(n+1)} [e^{i\pi(n+1)}-e^{-i\pi(n+1)}]}=$

non riesco a trovare l'errore

[Nick_931]

[Nick_931]