Integrale curvilineo complesso
Salve ragazzi. Potreste darmi una mano nel risolvere questo integrale?
La traccia mi dice
Evaluate the integral $\int_{|z|} z^n Lnz dz$ where n is an integer and
1) $Ln(1)=0$
2)$Ln(-1)=\pi i$
__________________________
Io semplicemente ho parametrizzato la curva e sostituito nell'integrale nel seguente modo
$\gamma(t)=e^{it}$
$\int_{-\pi }^{\pi} (e^{itn}) (it) (e^{it}) i dt $
prendendo il ramo principale del logaritmo
cioè sono andato per calcolarmi l'integrale curvilineo, però non mi esce un risultato esatto. Qualche suggerimento?
La traccia mi dice
Evaluate the integral $\int_{|z|} z^n Lnz dz$ where n is an integer and
1) $Ln(1)=0$
2)$Ln(-1)=\pi i$
__________________________
Io semplicemente ho parametrizzato la curva e sostituito nell'integrale nel seguente modo
$\gamma(t)=e^{it}$
$\int_{-\pi }^{\pi} (e^{itn}) (it) (e^{it}) i dt $
prendendo il ramo principale del logaritmo
cioè sono andato per calcolarmi l'integrale curvilineo, però non mi esce un risultato esatto. Qualche suggerimento?
Risposte
L'integrale è fatto su $|z|= 1$? E qual è il risultato che ti è stato dato?
Si su |z|=1. Cioè
$ \int_{-\pi }^{\pi} (e^{itn}) (it) (e^{it}) i dt = \int_{-\pi }^{\pi} (e^{it(n+1)}) (it)i dt=$
$ - \int_{-\pi }^{\pi} (e^{it(n+1)}) t dt= - \frac{1}{i(n+1)} \int_{-\pi }^{\pi} (i(n+1) e^{it(n+1)}) t dt =$
$ - \frac{1}{i(n+1)} { [t e^{it(n+1)} ]_{-\pi}^{\pi}- \int_{-\pi }^{\pi} e^{it(n+1)}}=$
$ - \frac{1}{i(n+1)} { [t e^{it(n+1)} ]_{-\pi}^{\pi}- [\frac{1}{i(n+1)} e^{it(n+1)}]_{-\pi}^{\pi}}=$
$ - \frac{1}{i(n+1)} { [\pi e^{i\pi(n+1)}- (-\pi e^{-i\pi(n+1)})]- [\frac{1}{i(n+1)} [e^{i\pi(n+1)}-e^{-i\pi(n+1)}]]}=$
$ - \frac{1}{i(n+1)} { \pi e^{i\pi(n+1)} + \pi e^{-i\pi(n+1)}- \frac{1}{i(n+1)} [e^{i\pi(n+1)}-e^{-i\pi(n+1)}]}=$
non riesco a trovare l'errore
$ \int_{-\pi }^{\pi} (e^{itn}) (it) (e^{it}) i dt = \int_{-\pi }^{\pi} (e^{it(n+1)}) (it)i dt=$
$ - \int_{-\pi }^{\pi} (e^{it(n+1)}) t dt= - \frac{1}{i(n+1)} \int_{-\pi }^{\pi} (i(n+1) e^{it(n+1)}) t dt =$
$ - \frac{1}{i(n+1)} { [t e^{it(n+1)} ]_{-\pi}^{\pi}- \int_{-\pi }^{\pi} e^{it(n+1)}}=$
$ - \frac{1}{i(n+1)} { [t e^{it(n+1)} ]_{-\pi}^{\pi}- [\frac{1}{i(n+1)} e^{it(n+1)}]_{-\pi}^{\pi}}=$
$ - \frac{1}{i(n+1)} { [\pi e^{i\pi(n+1)}- (-\pi e^{-i\pi(n+1)})]- [\frac{1}{i(n+1)} [e^{i\pi(n+1)}-e^{-i\pi(n+1)}]]}=$
$ - \frac{1}{i(n+1)} { \pi e^{i\pi(n+1)} + \pi e^{-i\pi(n+1)}- \frac{1}{i(n+1)} [e^{i\pi(n+1)}-e^{-i\pi(n+1)}]}=$
non riesco a trovare l'errore

