Integrale curvilineo applicato a una forma differenziale

[Izzo2]

Studiare la forma differenziale :$ (y/x^3 +1/y)dx - (1/(2x^2) +x/y^2) dy$ e calcolarne l'integrale curvilineo esteso all'arco di parabola di equazione $y=x^2$ di estremi $A= (1,1)$ e $B(2,4)$ orientatato da $A$ a $B$.
Procedo così: calcolo il dominio, che è verificato $AA (x,y)epsilon R^2 | x-(0) , y-(0) $ .
Dopodichè calcolo le derivate "ad incrocio", quindi, ponendo $alpha=(y/x^3 +1/y)$ e $beta=(1/(2x^2) +x/y^2)$, sarà:
$partial /(partial y)alpha= 1/x^3 - 1/y^2 = partial /(partial x)beta$, quindi la forma è chiusa , come capisco se è esatta?
Calcolo la primitiva, scegliendo il primo membro:
$F(x,y)= int (y/x^3 +1/y)dx = -y/(2x^2) +x/y + c(y)$.
$F'(x,y) = -1/(2x^2) - x/y^2 + c'(y) = - 1/(2x^2) - x/y^2 rArr c'(y)=0 rArr c(y)=c$, quindi
$F(x,y)= -y/(2x^2) +x/y + c$.
Come faccio a calcolare l'integrale curvilineo?

[quantunquemente]

la forma è sicuramente localmente esatta negli aperti semplicemente connessi che formano il dominio
quindi,in particolare è localmente esatta nel primo quadrante e tanto ci basta
l'integrale è banalmente uguale a $F(B)-F(A)$ per il ben noto teorema