Integrale Curvilineo
Ciao ragazzi esercitandomi per l'esame di Analisi Matematica2 mi sono imbattuto in questo esercizio:
Calcolare l'integrale curvilineo della seguente forma differenziale $\omega = (x+y)/x^2 dx + (x+y)/y^2 dy$ esteso alla frontiera del dominio $D={(x,y) in RR^2 : 1/2<= x <= 1 , x^2 <= y <= sqrt(x)}$ orientata in senso antiorario.
Ho disegnato il grafico e corrisponde alla porzione di piano individuata dall'intersezione delle rette $x=1/2$ e $x =1$ con la parabola $y=x^2$ ed il ramo superiore $y=sqrt(x)$. Questa tipologia di esercizi l'ho sempre affrontata applicando un cambio di parametrizzazione (di solito coordinate polari o ellittiche) ma in questo caso sono in difficoltà non saprei quale applicare.
Mi dareste una mano?
Calcolare l'integrale curvilineo della seguente forma differenziale $\omega = (x+y)/x^2 dx + (x+y)/y^2 dy$ esteso alla frontiera del dominio $D={(x,y) in RR^2 : 1/2<= x <= 1 , x^2 <= y <= sqrt(x)}$ orientata in senso antiorario.
Ho disegnato il grafico e corrisponde alla porzione di piano individuata dall'intersezione delle rette $x=1/2$ e $x =1$ con la parabola $y=x^2$ ed il ramo superiore $y=sqrt(x)$. Questa tipologia di esercizi l'ho sempre affrontata applicando un cambio di parametrizzazione (di solito coordinate polari o ellittiche) ma in questo caso sono in difficoltà non saprei quale applicare.
Mi dareste una mano?
Risposte
Sono semplicemente tre curve distinte da parametrizzare (e quindi tre integrali da calcolare). Le parametrizzazioni più semplici che puoi usare sono le seguenti:
$x=t,\ y=t^2,\ t\in[1/2,1]$ seguito da
$x=1-t,\ y=\sqrt{1-t},\ t\in[0,1/2]$ (che percorre la curva $y=\sqrt{x}$ dal punto $(1,1)$ al punto $(1/2,1/\sqrt{2})$)
e infine $x=1/2,\ y=(1/4-1/\sqrt{2})t+1/\sqrt{2},\ t\in[0,1]$ (che percorre il segmento relativo alla retta $x=1/2$ dal punto $(1/2,1/\sqrt{2})$ fino al punto $(1/2,1/4)$)
$x=t,\ y=t^2,\ t\in[1/2,1]$ seguito da
$x=1-t,\ y=\sqrt{1-t},\ t\in[0,1/2]$ (che percorre la curva $y=\sqrt{x}$ dal punto $(1,1)$ al punto $(1/2,1/\sqrt{2})$)
e infine $x=1/2,\ y=(1/4-1/\sqrt{2})t+1/\sqrt{2},\ t\in[0,1]$ (che percorre il segmento relativo alla retta $x=1/2$ dal punto $(1/2,1/\sqrt{2})$ fino al punto $(1/2,1/4)$)
Ti ringrazio per la risposta, una volta calcolato i tre integrali lungo le tre curve, i risultati li devo sommare? Inoltre siccome ho un senso antiorario devo mettere iol segno $-$ prima degli integrali? Te lo domando perchè di solito ho a che fare con un unico integrale e non mi è mai capitato di svolgerne tre per una forma differenziale.
Sì, devi sommarli.
No, non devi cambiare alcun segno: le parametrizzazioni che ho scritto fanno sì che tu percorra la curva (unione delle tre curve) in senso antiorario a partire dal punto $(1/2,1/4)$ e ritornandoci.
No, non devi cambiare alcun segno: le parametrizzazioni che ho scritto fanno sì che tu percorra la curva (unione delle tre curve) in senso antiorario a partire dal punto $(1/2,1/4)$ e ritornandoci.
Se $\gamma$ ed $\eta$ sono due cammini tali che $\gamma(1)=\eta(0)$, e $\omega\in \Omega^1(U)$, per $U\subseteq \mathbb R^2$, allora l'integrale sulla giustapposizione dei cammini e' la somma degli integrali sui due cammini:
\[\int_{\gamma\star\eta}\omega=\int_\gamma \omega+ \int_\eta\omega\]
\[\int_{\gamma\star\eta}\omega=\int_\gamma \omega+ \int_\eta\omega\]
Grazie per le risposte, ho solo un dubbio; perchè per quanto riguarda la curva $y=sqrt(x)$ la parametrizzazione è $y=1-t$ e $x=sqrt(1-t)$ ?
Serve a percorrere la curva partendo dal punto $(1,1)$ fino ad arrivare al punto $(1/2,1/\sqrt{2})$. Fai attenzione che la parametrizzazione dipende anche da come si sceglie $t$ e io, in questo caso, ho imposto che $t\in[0,1/2]$
si ma come sei giunto alla conclusione che la parametrizzazione è quella scritta in precedenza?
L'ho calcolata! Ne avrei potute scrivere altre diecimila ma quella mi sembrava la più semplice. E' una questione di pratica. Riflettici un po' su!
ah ho capito, l'hai parametrizzata in modo che quando vai a sostituire i valori $0$ ed $1/2$ ottieni proprio i punti $(1,1)$ e $(1/2, 1/sqrt(2))$. Grazie ancora per l'aiuto!
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