Integrale curvilineo
Sto provando a risolvere il seguente esercizio, in cui mi si richiede di calcolare l'integrale curvilineo:
$\int_{\gamma}f(x,y) dxdy$
con $f(x,y)= x/(sqrt(x^2+3y^2))+3y/(sqrt(x^2+3y^2))$
essendo $\gamma$ la circonferenza di centro O e raggio 1.
Ho considerato la curva $\gamma(t)=(cost,sint)$ con $\gamma: [0,2pi]-> R^2$, $\gamma $ parametrizzazione della circonferenza unitaria : $x^2+y^2=1$
$\gamma $ è di classe $C^1$ a valori in $A=R^2\{0,0}$, chius.
Io pensavo - e ho provato - di svolgerlo ricorrendo a:
$\int_{\gamma}X(x,y)dx+Y(x,y)dy=\int_{[a,b]}[X(\phi(t),\psi(t),\phi'(t))+Y(\phi(t),\psi(t),\psi'(t))]dt$
con $x=\phi(t) , y=\psi(t)$ e t appartenente a [a,b]
così, trovo:
$\int_{0}^{2pi} ((\rhocos(t))/(sqrt(\rho^2cos^2t+3\rho^2sin^2t)), (3\rhosint)/(sqrt(\rho^2cos^2t+3\rho^2sin^2t)))(cost,-sint)dt$
tuttavia non riesco a venire a capo di una risoluzione. Sicuramente avrò sbagliato qualcosa..
Sinora, la prof. ha introdotto l'argomento integrali di linea ma non ha ancora svolto esercizi o riportato esempi.
Alex
$\int_{\gamma}f(x,y) dxdy$
con $f(x,y)= x/(sqrt(x^2+3y^2))+3y/(sqrt(x^2+3y^2))$
essendo $\gamma$ la circonferenza di centro O e raggio 1.
Ho considerato la curva $\gamma(t)=(cost,sint)$ con $\gamma: [0,2pi]-> R^2$, $\gamma $ parametrizzazione della circonferenza unitaria : $x^2+y^2=1$
$\gamma $ è di classe $C^1$ a valori in $A=R^2\{0,0}$, chius.
Io pensavo - e ho provato - di svolgerlo ricorrendo a:
$\int_{\gamma}X(x,y)dx+Y(x,y)dy=\int_{[a,b]}[X(\phi(t),\psi(t),\phi'(t))+Y(\phi(t),\psi(t),\psi'(t))]dt$
con $x=\phi(t) , y=\psi(t)$ e t appartenente a [a,b]
così, trovo:
$\int_{0}^{2pi} ((\rhocos(t))/(sqrt(\rho^2cos^2t+3\rho^2sin^2t)), (3\rhosint)/(sqrt(\rho^2cos^2t+3\rho^2sin^2t)))(cost,-sint)dt$
tuttavia non riesco a venire a capo di una risoluzione. Sicuramente avrò sbagliato qualcosa..
Sinora, la prof. ha introdotto l'argomento integrali di linea ma non ha ancora svolto esercizi o riportato esempi.
Alex
Risposte
Mi pare ci sia un errore di fondo. Da quanto scrivi all'inizio io capisco che $f$ è una funzione a valori scalari, mentre in seguito applichi la definizione di integrale di linea di un campo vettoriale / forma differenziale lineare. Sono due cose diverse, nel primo caso è:
$int_gamma fds=int_a^bf(gamma(t))|dot(gamma)(t)|"d"t$ (qui $"d"s$ indica l'elemento di lunghezza della curva, e $gamma$ è una qualsiasi parametrizzazione);
nel secondo è:
$int_gamma vec{f} * vec {t} ds=int_a^b vec{f}(gamma(t))*dot(gamma)(t)"d"t$ (qui $vec t$ è il versore tangente alla curva);
ovvero, in coordinate cartesiane,
$int_gamma vec{f}*vec{t}"d"s=int_gamma f_x"d"x+f_y"d"y+f_z"d"z$
che si può svolgere usando la teoria delle forme differenziali, arrivando allo stesso risultato di sopra.
$int_gamma fds=int_a^bf(gamma(t))|dot(gamma)(t)|"d"t$ (qui $"d"s$ indica l'elemento di lunghezza della curva, e $gamma$ è una qualsiasi parametrizzazione);
nel secondo è:
$int_gamma vec{f} * vec {t} ds=int_a^b vec{f}(gamma(t))*dot(gamma)(t)"d"t$ (qui $vec t$ è il versore tangente alla curva);
ovvero, in coordinate cartesiane,
$int_gamma vec{f}*vec{t}"d"s=int_gamma f_x"d"x+f_y"d"y+f_z"d"z$
che si può svolgere usando la teoria delle forme differenziali, arrivando allo stesso risultato di sopra.
Ti ringrazio dissonance. Purtroppo, quanto da te spiegato, pur essendo teoria e di base, risulta ancora "incomprensibile" per me, dal momento che la nostra prof ha accennato a tale argomento, pretendendo lo svolgimento di un integrale curvilineo in sede d'esame. Non ha sinora ( ma non credo lo spiegherà!) detto nulla in proposito dei campi scalari/vettoriali. Mi sa che dovrò cercare maggiori informazioni sui libri di testo e sperare di trovare degli integrali svolti che possano farmi comprendere l'applicazione della teoria. ti ringrazio.
Alex
Alex
Se non ha parlato di campi vettoriali, allora limitati a studiare l'integrale curvilineo di un campo scalare (=una funzione a valori scalari). Sono cose che sicuramente hai incontrato nei corsi di Fisica e di materie tecniche (tu sei un aspirante ingegnere, mi pare, vero?). L'idea di fondo è molto semplice. In entrambi i tipi di integrale, $"d"s$ indica l'elemento infinitesimo di lunghezza della curva. Non ti stupirà sapere che, detta $gamma=gamma(t)$ una parametrizzazione, risulta $"d"s=|dot{gamma}(t)|"d"t$, ovvero il modulo del vettore tangente. Allora per calcolare $int_gammaf"d"s$ basta valutare $f$ lungo $gamma$ e sostituire $"d"s$:
$int_gamma f"d"s=int_a^bf(gamma(t))|dot{gamma}(t)|"d"t$
dove $[a, b]$ è il dominio della parametrizzazione $gamma=gamma(t)$. Questo è tutto, a livello pratico. Ci sono delle questioni teoriche da chiarire: per esempio, avremmo potuto scegliere un'altra parametrizzazione, chi ci dice che avremmo ottenuto lo stesso risultato? Ce lo dice un teoremino che si dimostra usando la formula di cambiamento di variabile. E poco più di questo, direi, almeno per gli integrali dei campi scalari.
Per i campi vettoriali c'è qualche (piccola) complicazione in più, ma niente di che. L'idea è sempre quella: valutare $vec{f}$ lungo la curva e sostituire $"d"s$, ottenendo un integrale definito. Ti lascio un link, sono delle lezioncine MOLTO semplici e intuitive, ma che ho trovato ottime: http://www.math.umn.edu/~nykamp/m2374/r ... athml.html
Per questo argomento vai a "By Topic" e consulta la lezione "Path Integrals and Line Integrals". A te serve solo la parte sui Path Integrals, quindi ne uscirai in pochissimo tempo.
$int_gamma f"d"s=int_a^bf(gamma(t))|dot{gamma}(t)|"d"t$
dove $[a, b]$ è il dominio della parametrizzazione $gamma=gamma(t)$. Questo è tutto, a livello pratico. Ci sono delle questioni teoriche da chiarire: per esempio, avremmo potuto scegliere un'altra parametrizzazione, chi ci dice che avremmo ottenuto lo stesso risultato? Ce lo dice un teoremino che si dimostra usando la formula di cambiamento di variabile. E poco più di questo, direi, almeno per gli integrali dei campi scalari.
Per i campi vettoriali c'è qualche (piccola) complicazione in più, ma niente di che. L'idea è sempre quella: valutare $vec{f}$ lungo la curva e sostituire $"d"s$, ottenendo un integrale definito. Ti lascio un link, sono delle lezioncine MOLTO semplici e intuitive, ma che ho trovato ottime: http://www.math.umn.edu/~nykamp/m2374/r ... athml.html
Per questo argomento vai a "By Topic" e consulta la lezione "Path Integrals and Line Integrals". A te serve solo la parte sui Path Integrals, quindi ne uscirai in pochissimo tempo.
Grazie dissonance. Darò un'occhiata e approfondirò l'argomento.
Buona domenica,
Alex
Buona domenica,
Alex
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