Integrale curvilineo...

[monstermash-votailprof]

Salve,
in effetti il mio problema è applicare nel modo corretto il teorema dei residui, ma di fatto quello che non capisco è come si devono scegliere i segni degli integrali da sommare quando l'integrale curvilineo è spezzato in più parti. Per spiegarmi meglio, come mai in questa pagina solo il secondo integrale ha il segno meno:



Mentre in questa pagina solo l'ultimo integrale ha il segno meno?



In entrambi i casi quello che si deve fare non è altro che porre uguale a zero l'integrale calcolato lungo la curva chiusa tracciata poco sopra.

Io avrei sommato tutti gli integrali con il segno +...

Spero che possiate darmi una mano.

Grazie a tutti.

Ciao

[*pizzaf40]

Il senso è che gli assi vengono sempre definiti in una posizione tale da mantenere la regola della vite destrogira (o della mano destra).

Nel caso di assi $x,y$ il verso di rotazione positivo è quello che va da $x$ verso $y$, quindi antiorario.

Nel primo caso da te riportato si crea un percorso chiuso con 4 tratti:

- il primo integrale viene integrato in $dx$, quindi il segno positivo lo usi se "corri sulla linea" in direzione delle $x$ positive...ed è così, perchè integri da $-R$ a $-epsilon$, cioè verso destra;
- per il terzo integrale vale lo stesso discorso del primo, infatti l'intervallo va da $epsilon$ a $R$, cioè verso destra, verso le $x$ positive;
- il quarto integrale ti dice che lo integri in $+gamma_R$, ed il più indica che segui il verso della freccia che è sul disegno....quindi antiorario, quindi mantieni il segno positivo;
- il terzo,integrale che è il tuo problema, lo integri in $+gamma_(epsilon)$, cioè nel verso della freccia, che è senso orario, quindi contrario a quello che è positivo per gli assi $x,y$....quindi inverti il segno!

Nel secondo caso il senso è sempre quello...occhio però che in realtà tutti i segni andrebbero invertiti:

- il primo integrale è da $-R$ a $-epsilon$, cioè in direzione delle $x$ positive, ma ti stai muovendo in direzione opposta rispetto alla fraccia del percorso...quindi va negativo;
- per il terzo tratto vale lo stesso, quindi negativo;
- il terzo è integrato in $+gamma_(epsilon)$, quindi in senso contrario a quello positivo definito dagli assi...quindi integrale negativo;
- il quarto per i soliti ragionamenti va messo col $+$.

Ponendo tutto uguale a zero può permettersi di cambiare il segno, ed inverte tutti!




Quindi il senso è che devi sempre vedere che la direzione di integrazione sia in accordo con la direzione positiva standard degli assi...se sì l'integrale è col più, altrimenti col meno...