Integrale curvilineo

[RodEz]

Ciao a tutti,mi sono imbattuto nel seguente esercizio,devo trovare la lunghezza di questa curva
$\gamma(t)=(t*sint,t*cost,t) $ $t in [0,T]$
dunque...da quanto so io per trovare la lunghezza devo fare:
$L(\gamma)=\int_{0}^{T} ||\gamma(t)^{\prime}|| dt$
dove
$\gamma(t)^{\prime} = (sint+t*cost,cost-t*sint,1)$
e
$||\gamma(t)^{\prime}||=sqrt(t^2+1)$
qua inizia il problema....non risco a integrare,ho provato per parti con la sostituzione ma non ne vado fuori
$L(\gamma)=\int_{0}^{T} sqrt(t^2+1) dt$
qualcuno sa darmi dei suggerimenti ?
grazie

[ciampax]

Per prima cosa, mi pare che

$|| y'(t) ||=\sqrt{t^2+2}$

se non vado errato. Per quanto riguarda l'integrale, in generale quando la tua funzione presenta qualcosa della forma $\sqrt{x^2+a^2}$ puoi usare la sostituzione

$x=a\ \sinh z,$ da cui $dx=a\ \cosh z\ dz$ e $\sqrt{x^2+a^2}=a\ \cosh z$, (con le funzioni iperboliche)

le cui sostituzioni inverse sono

$z=\log(x/a+1/a\cdot\sqrt{x^2+a^2})$, $\sinh z=x/a$, $\cosh z=1/a\sqrt{x^2+a^2}$.

[gugo82]

Segui il consiglio di ciampax, è l'unico modo.

Se non hai abbastanza familiarità con le funzioni iperboliche, fai la sostituzione $x=a*(e^t-e^(-t))/2$ (che poi è la stessa, ma scritta senza ricorrere al simbolo $sinh$).

[RodEz]

ok grazie 1000 adesso ci provo