Integrale curvilineo
L'esercizio chiede di verificare che la forma differenziale lineare
$ omega = (2xcos(x^2-y^2) + 2xy^2 +1)dx + (-2ycos(x^2-y^2) + 2x^2y) dy $
è esatta nel suo dominio e di calcolarne la primitiva (obiettivi già raggiunti).
Inoltre bisogna calcolare $\int_gamma omega ds$ dove $gamma(t) = (2cost, sint)$ con $0 <= t <= 2pi $.
Qualcuno potrebbe mostrarmi i passi da seguire per poter calcolare questo integrale??
Grazie ancora una volta.
$ omega = (2xcos(x^2-y^2) + 2xy^2 +1)dx + (-2ycos(x^2-y^2) + 2x^2y) dy $
è esatta nel suo dominio e di calcolarne la primitiva (obiettivi già raggiunti).
Inoltre bisogna calcolare $\int_gamma omega ds$ dove $gamma(t) = (2cost, sint)$ con $0 <= t <= 2pi $.
Qualcuno potrebbe mostrarmi i passi da seguire per poter calcolare questo integrale??
Grazie ancora una volta.
Risposte
Se la forma differenziale è esatta, e ne conosci una primitiva, è molto semplice calcolare l'integrale.
La forma differenziale è esatta perchè
$ {dela}/{dely} = {delb}/{delx} = 4xysin(x^2-y^2) + 4xy $
La primitiva è $f(x,y) = sin(x^2-y^2) + x^2y^2 + x
Per calcolare l'integrale curvilineo non devo considerare il seguente integrale?
$int_q^p {a(x(t),y(t))x'(t) + b(x(t),y(t))y'(t)}dt
Sostituendo viene fuori un integrale che non riesco semplificare.
$ {dela}/{dely} = {delb}/{delx} = 4xysin(x^2-y^2) + 4xy $
La primitiva è $f(x,y) = sin(x^2-y^2) + x^2y^2 + x
Per calcolare l'integrale curvilineo non devo considerare il seguente integrale?
$int_q^p {a(x(t),y(t))x'(t) + b(x(t),y(t))y'(t)}dt
Sostituendo viene fuori un integrale che non riesco semplificare.
Ma no, ripensa alla teoria. Quando una forma differenziale è esatta, e si conosce una primitiva, non è necessario calcolare gli integrali in quella maniera complicata che stai seguendo tu.
Parli del teorema di integrazione delle forme esatte?
$ int_gamma a(x,y)dx + b(x,y)dy = f(x_1,y_1) - f (x_0,y_0) $
dove $(x_1,y_1)$ e $(x_0,y_0)$ sono due punti di A congiunti da una curva $gamma$
Ma è sempre possibile utilizzare questo teorema una volta verificato che la forma è esatta e calcolata una sua primitiva?
$ int_gamma a(x,y)dx + b(x,y)dy = f(x_1,y_1) - f (x_0,y_0) $
dove $(x_1,y_1)$ e $(x_0,y_0)$ sono due punti di A congiunti da una curva $gamma$
Ma è sempre possibile utilizzare questo teorema una volta verificato che la forma è esatta e calcolata una sua primitiva?
Guarda, pensa a quello che fai quando calcoli un integrale lungo un intervallo, diciamo $int_a^bf(t)"d"t$. Ti trovi una primitiva $F$ e risolvi così: $int_a^bf(t)"d"t=F(b)-F(a)$. La stessissima cosa la puoi fare con gli integrali delle forme differenziali. Solo che qui l'intervallo non è più "dritto", ma è un oggetto "curvo". Naturalmente, non sempre le forme sono esatte e allora devi trovare un'altra strada.
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