INTEGRALE CURVILINEO

[Metodi1]

Qualcuno sarebbe in grado di risolvere questo integrale curvilineo? Ho uno svolgimento abbozzato ma non ne capisco molto.....

Int (tra -pigreco e +pigreco) di 1/[5+3cos(teta)] d(teta)

[_nicola de rosa]

"Metodi":Qualcuno sarebbe in grado di risolvere questo integrale curvilineo? Ho uno svolgimento abbozzato ma non ne capisco molto.....

Int (tra -pigreco e +pigreco) di 1/[5+3cos(teta)] d(teta)

$int_{-pi}^{pi}1/(5+3cos(theta))d theta$

Io farei la sostituzione $t=tg((theta)/2)->theta=2atctan(t)->d theta=2/(1+t^2)dt$
Inoltre $cos(theta)=(1-tg^2((theta)/2))/(1+tg^2((theta)/2))=(1-t^2)/(1+t^2)$

Inoltre $theta->-pi=>t->-infty$, $theta->pi=>t->+infty$

Per cui $int_{-pi}^{pi}1/(5+3cos(theta))d theta=int_{-infty}^{+infty}1/(5+3(1-t^2)/(1+t^2))*2/(1+t^2)dt=int_{-infty}^{+infty}1/(t^2+4)dt$=
$1/2int_{-infty}^{+infty}(1/2)/(1+(t/2)^2)dt=1/2[arctg(t/2)]_{-infty}^{+infty}=1/2[pi/2+pi/2]=pi/2$

[Kroldar]

Propongo una soluzione alternativa.
La funzione integranda è periodica di periodo $2pi$ e l'intervallo di integrazione è proprio $2pi$. Si possono quindi scegliere estremi di integrazione differenti, purché l'intervallo sia pari a $2pi$.

Dunque risulta

$int_{-pi}^{pi}1/(5+3cos(theta))d theta = int_{0}^{2pi}1/(5+3cos(theta))d theta$

Per questo tipo di integrale esiste una soluzione rapida, in base a quanto detto nel topic:
https://www.matematicamente.it/f/viewtopic.php?t=20499

Nel nostro caso è $a=5$, $b=3$, $c=0$. Pertanto risulta

$int_{-pi}^{pi}1/(5+3cos(theta))d theta = int_{0}^{2pi}1/(5+3cos(theta))d theta = 2pi (sgn(5))/sqrt(5^2 - 3^2 - 0^2) = (2pi)/sqrt(16) = pi/2$

[elgiovo]

Integrali come questo "stuzzicano" la voglia di analisi complessa. Ebbene: consideriamo il cerchio unitario $C$
di equazione $|z|=1$. Se $z in C$, allora $1/z$ si ottiene riflettendo $z$ sull'asse reale. Ovviamente anche
$1/z in C$. Se $theta$ è l'angolo tra $z$ e l'asse reale, allora il coseno di $theta$ è il punto medio tra $z$ e $1/z$.
In formule, $cos theta = 1/2[z+1/z]$. Inoltre, $dz$ è il numero complesso infinitesimo tangente alla circonferenza
e perpendicolare a $z$. In formule, $dz=jz d theta$. Allora l'integrale diventa $int_0^(2pi) 1/(5+3cos theta) d theta=oint_C ((dz)/(jz))/(3/2[z+1/z]+5) $
$= -2j oint_C 1/(3z^2+10z+3) dz$. I poli, come è facile verificare risolvendo l'equazione $3z^2+10z+3=0$, sono in $z=-3$ e $z=-1/3$.
L'unico polo all'interno di $C$ è in $z=-1/3$, dunque basta calcolare il residuo: $Res[1/(3z^2+10z+3),-1/3]=1/(6(-1/3)+10)=1/8$.
Ora, per il teorema dei residui, $= -2j oint_C 1/(3z^2+10z+3) dz=(2*(-2)*pi* j *j)/8=pi/2$.

[Metodi1]

Grazie a tutti...!

[albertmetod]

molto simpatico il metodo di kroldar. molto didattico quello di elgiovo. ringrazio anche io