Integrale curvilineo
Ciao... ho dei dubbi sulla risoluzione di alcuni integrali curvilinei... sulal correttezza del metodo che utilizzo per risolverli....
Forse con uno o due esempi si fa prima a notare dove sbaglio....
questo integrale lo risolvo così:
$\int_\gamma 1/y d\gamma$ con $gamma$ che è l'arco di curva di equazioni $x=tau$, $y=2e^tau$ e $z=e^{2tau}$ con $-1\le tau\le 1$
Ho risolto così:
$x=tau$ -> $dx=d tau$
$y=2e^tau$ -> $dy= 2e^tau d tau$
$z=e^{2tau}$ -> $dz=2e^{2tau}d tau$
$int_{-1}^1 1/{2e^tau}2e^tau d tau = [tau]_{-1}^1=1+1=2$
E' corretto? (Più che il risultato mi interessa il metodo con cui ho risolto)
vi ringrazio
Forse con uno o due esempi si fa prima a notare dove sbaglio....
questo integrale lo risolvo così:
$\int_\gamma 1/y d\gamma$ con $gamma$ che è l'arco di curva di equazioni $x=tau$, $y=2e^tau$ e $z=e^{2tau}$ con $-1\le tau\le 1$
Ho risolto così:
$x=tau$ -> $dx=d tau$
$y=2e^tau$ -> $dy= 2e^tau d tau$
$z=e^{2tau}$ -> $dz=2e^{2tau}d tau$
$int_{-1}^1 1/{2e^tau}2e^tau d tau = [tau]_{-1}^1=1+1=2$
E' corretto? (Più che il risultato mi interessa il metodo con cui ho risolto)
vi ringrazio
Risposte
Quando calcoli un integrale curvilineo devi moltiplicare per
$|gamma'(t)|=sqrt(x'(t)^2+y'(t)^2+z'(t)^2)$.
In questo caso viene
$|gamma'(t)|=sqrt(1+4e^(2t)+4e^(4t))=sqrt((2e^(2t)+1)^2)=2e^(2t)+1$.
Adesso devi calcolare l'integrale
$int_(-1)^1(2e^(2t)+1)/(2e^t)dt=int_(-1)^1(e^t+e^(-t)/2)dt$.
$|gamma'(t)|=sqrt(x'(t)^2+y'(t)^2+z'(t)^2)$.
In questo caso viene
$|gamma'(t)|=sqrt(1+4e^(2t)+4e^(4t))=sqrt((2e^(2t)+1)^2)=2e^(2t)+1$.
Adesso devi calcolare l'integrale
$int_(-1)^1(2e^(2t)+1)/(2e^t)dt=int_(-1)^1(e^t+e^(-t)/2)dt$.
Ah grazie.. si avevo completamente dimenticato quel punto....
In questo esercizio devo sbagliare sicuram,ente qualcosa ma non capisco cosa...
$int_gamma (y^2 + 2 x/y)ds$ con $gamma:x^2+y^2=1$ e $0 \le x \le \sqrt2/2$
trasformando in coordinate polari mi viene $rho =1$ e $pi/4 \le theta \le pi/2$
da qui:
$int_{pi/4}^{pi/2}(sin^2 theta + 2 cos theta/sin theta)* \sqrt 1$
sviluppando $[1/2 sin theta cos theta + 2 ln(sin theta)]_{pi/4}^{pi/2}=-1/4-2ln\sqrt 2/2$ che è circa $0.44314718$
Ora questo valore si poterbbe trovare anche calcolando la circonferenza del cerchio e dividerla per 8... quindi:
$2* pi* r = 2 *pi * 1= 6.283185307$ divido per 8 e mi viene $0.785398163$ che è diverso dalla lunghezza della curva calcolata tramite l'integrale.... dov è che sbaglio?
In questo esercizio devo sbagliare sicuram,ente qualcosa ma non capisco cosa...
$int_gamma (y^2 + 2 x/y)ds$ con $gamma:x^2+y^2=1$ e $0 \le x \le \sqrt2/2$
trasformando in coordinate polari mi viene $rho =1$ e $pi/4 \le theta \le pi/2$
da qui:
$int_{pi/4}^{pi/2}(sin^2 theta + 2 cos theta/sin theta)* \sqrt 1$
sviluppando $[1/2 sin theta cos theta + 2 ln(sin theta)]_{pi/4}^{pi/2}=-1/4-2ln\sqrt 2/2$ che è circa $0.44314718$
Ora questo valore si poterbbe trovare anche calcolando la circonferenza del cerchio e dividerla per 8... quindi:
$2* pi* r = 2 *pi * 1= 6.283185307$ divido per 8 e mi viene $0.785398163$ che è diverso dalla lunghezza della curva calcolata tramite l'integrale.... dov è che sbaglio?
Sei sicuro che una primitiva di $sen^2 \theta$ sia $1/2 sen \theta cos \theta$?
già... ecco dov è l'errore... no so come mi sia uscito fuori quel coso... dovrebbe essere $1/2(theta - sen theta cos theta)$
ci deve essere ancora un errore ora mi viene $1.335846262$... se il logaritmo lo calcolo in base 10 mi viene $0.9.....$ ma ancira non ci siamo
io non capisco.... ho cambiato esercizio.... ma mi fa lo stesso problema... la lunghezza della curva calcolata con l'integrale è diversa dalla lunghezza calcolata dividendo la circonferenza....
comincio ad avere dubbi sul significato dell'integrale curvilineo.... io sapevo che era con l'integrale curvilineo calcolavo la lunghezza di una curva.... è così?
Se è così perchè non combaciano i 2 risultati?
comincio ad avere dubbi sul significato dell'integrale curvilineo.... io sapevo che era con l'integrale curvilineo calcolavo la lunghezza di una curva.... è così?
Se è così perchè non combaciano i 2 risultati?
Avresti trovato l'ottavo di circonferenza se la funzione integranda fosse stata unitaria.
In realtà stai calcolando la circuitazione di una funzione lungo l'ottavo di circonferenza.
In realtà stai calcolando la circuitazione di una funzione lungo l'ottavo di circonferenza.
ah ti ringrazio... in 2 parole potresti dirmi cosa vuol dire "circuitazione" di una funzione??? Il prof non ha mai utilizzato questo termine... è anche sufficente un link all'argomento.... ti ringrazio ancora
Più che in parole povere te lo dico in parole misere: nel significato più ampio significa calcolare un integrale di linea. Altri con circuito intendono una linea chiusa, e quindi un integrale di linea chiusa.
P.S. faccio raramente uso di link. Se lo facessi segnalo sul calendario
P.S. faccio raramente uso di link. Se lo facessi segnalo sul calendario
Ti dirò onestamente... di questo esercizio ho capito come si risolve ma non ho capito cosa risolve... esattamente "parametrizzare" cosa vuol dire??? perchè si deve parametrizzare? Ho letto sul libro, su wikipedia, negli appunti ma non capisco....
P.S.: Neanche in questo caso potresti linkarmi qualcosa?
Grazie e tolgo il disturbo
P.S.: Neanche in questo caso potresti linkarmi qualcosa?
Grazie e tolgo il disturbo
Vedi, la parametrizzazione è un modo diverso per rappresentare un legame tra le variabili x,y e z. Avresti potuto, diversamente, scrivere un sistema di 2 equazioni che legavano queste 3 variabili.
ok grazie ancora...
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