Integrale curvilineo 2a specie
Ciao a tutti.
Ho svolto questo integrale in due modi,ossia mediante l'uso delle formule di Green-Gauss e la parametrizzazione della curva. Il testo dice quanto segue:
Calcolare l'integrale $\int_\gamma sin(x+y)dx+cos(x-y)$ dove $\gamma$ è la curva costituita dai lati di un triangolo di vertici $P_0=(0,0), P_1=(1,0),P_2=(0,1)$ percorsa in senso orario.
Si tratta di un dominio chiuso.
-Gauss/Green:
svolgo ill seguente integrale: $\int\int -sin(x-y)-cos(x+y)dxdy$ $\Rightarrow$ $\int_{0}^{1}dx\int_{0}^{1-x}-sin(x-y)-cos(x+y)dy$
Quello che ottengo però è un risultato negativo di $-0.381$.
-Parametrizzazione:
$\gamma_1: (t,0)$ con $t\in(1,0)$, $\gamma_2: (0,t)$ con $t\in(0,1)$, $\gamma_3: (t,1-t)$ con $t\in(0,1)$
Svolgendo i calcoli ottengo $2.06$
L'impostazione di entrambi risulta corretta? Perché in caso lo fosse allora commetto errori di calcoli durante lo svolgimento.Senno non riesco a spiegarmelo.
Grazie a tutti
Ho svolto questo integrale in due modi,ossia mediante l'uso delle formule di Green-Gauss e la parametrizzazione della curva. Il testo dice quanto segue:
Calcolare l'integrale $\int_\gamma sin(x+y)dx+cos(x-y)$ dove $\gamma$ è la curva costituita dai lati di un triangolo di vertici $P_0=(0,0), P_1=(1,0),P_2=(0,1)$ percorsa in senso orario.
Si tratta di un dominio chiuso.
-Gauss/Green:
svolgo ill seguente integrale: $\int\int -sin(x-y)-cos(x+y)dxdy$ $\Rightarrow$ $\int_{0}^{1}dx\int_{0}^{1-x}-sin(x-y)-cos(x+y)dy$
Quello che ottengo però è un risultato negativo di $-0.381$.
-Parametrizzazione:
$\gamma_1: (t,0)$ con $t\in(1,0)$, $\gamma_2: (0,t)$ con $t\in(0,1)$, $\gamma_3: (t,1-t)$ con $t\in(0,1)$
Svolgendo i calcoli ottengo $2.06$
L'impostazione di entrambi risulta corretta? Perché in caso lo fosse allora commetto errori di calcoli durante lo svolgimento.Senno non riesco a spiegarmelo.
Grazie a tutti
Risposte
Ciao Dr.Hermann,
La formula di Gauss-Green nel piano afferma che si ha:
$\int_{\del^+ S} f(x, y) \text{d}x + g(x, y)\text{d}y = \int \int_S ((\del g)/(\del x) - (\del f)/(\del y)) \text{d}x \text{d}y $
Nel caso in esame si ha:
$f(x,y) = sin(x + y) \implies (\del f)/(\del y) = cos(x + y) $
$g(x,y) = cos(x - y) \implies (\del g)/(\del x) = - sin(x - y) $
Pertanto l'impostazione mi pare corretta e mi risulta $1 - sin(1) - cos(1) $
L'impostazione con la parametrizzazione invece è errata, perché
Quindi, partendo da $P_0(0,0) $ in senso orario:
$\gamma_1: (0,t) $, $\gamma_2: (t,1-t)$, $\gamma_3: (1-t, 0) $ con $t \in [0,1] $
La formula di Gauss-Green nel piano afferma che si ha:
$\int_{\del^+ S} f(x, y) \text{d}x + g(x, y)\text{d}y = \int \int_S ((\del g)/(\del x) - (\del f)/(\del y)) \text{d}x \text{d}y $
Nel caso in esame si ha:
$f(x,y) = sin(x + y) \implies (\del f)/(\del y) = cos(x + y) $
$g(x,y) = cos(x - y) \implies (\del g)/(\del x) = - sin(x - y) $
Pertanto l'impostazione mi pare corretta e mi risulta $1 - sin(1) - cos(1) $
L'impostazione con la parametrizzazione invece è errata, perché
"Dr.Hermann":
[...] la curva costituita dai lati di un triangolo di vertici $P_0(0,0)$, $P_1(1,0)$, $P_2(0,1) $ percorsa in senso orario.
Quindi, partendo da $P_0(0,0) $ in senso orario:
$\gamma_1: (0,t) $, $\gamma_2: (t,1-t)$, $\gamma_3: (1-t, 0) $ con $t \in [0,1] $
Ciao Pilloeffe.
Non capisco perché viene parametrizzata in quel modo $\gamma_3$. Riguardo $\gamma_1$ e $\gamma_2$ sono d'accordo ok. Seguendo l'ordine del senso orario della curva e partendo da $P_0$ l'origine, si ha il punto $P_2$ e infine $\P_1$. O sbaglio?
Perché il tratto $\gamma_3$ non posso parametrizzarlo $\gamma_3: (t,0), t\in(1,0)$?
Non capisco perché viene parametrizzata in quel modo $\gamma_3$. Riguardo $\gamma_1$ e $\gamma_2$ sono d'accordo ok. Seguendo l'ordine del senso orario della curva e partendo da $P_0$ l'origine, si ha il punto $P_2$ e infine $\P_1$. O sbaglio?
Perché il tratto $\gamma_3$ non posso parametrizzarlo $\gamma_3: (t,0), t\in(1,0)$?
"Dr.Hermann":
O sbaglio?
No, non sbagli: proprio per questo è opportuna una parametrizzazione come quella che ti ho indicato, in modo che omettendo le funzioni integrande tutti gli integrali sono del tipo $\int_0^1 $
Cosi facendo l' integrale mi viene $2.982$. Non dovrebbe avere lo stesso risultato di Green-Gauss?
A me risulta:
$\int_0^1 cos(-t)\text{d}t + \int_0^1 sin(t+1-t)\text{d}t + int_0^1 cos(t - 1 + t)(- \text{d}t)
+ \int_0^1 sin(1-t)(-\text{d}t) = $
$ = \int_0^1 cos(t)\text{d}t + sin(1) - \int_0^1 cos(2t - 1) \text{d}t - \int_0^1 sin(1-t) \text{d}t = $
$ = sin(1) + sin(1) - sin(1) - (1 - cos(1)) = cos(1) + sin(1) - 1 $
che è proprio l'opposto di quanto si è ottenuto con la formula di Gauss-Green (ricordarsi che in tale formula la frontiera di $S$ si intende percorsa in senso antiorario).
$\int_0^1 cos(-t)\text{d}t + \int_0^1 sin(t+1-t)\text{d}t + int_0^1 cos(t - 1 + t)(- \text{d}t)
+ \int_0^1 sin(1-t)(-\text{d}t) = $
$ = \int_0^1 cos(t)\text{d}t + sin(1) - \int_0^1 cos(2t - 1) \text{d}t - \int_0^1 sin(1-t) \text{d}t = $
$ = sin(1) + sin(1) - sin(1) - (1 - cos(1)) = cos(1) + sin(1) - 1 $
che è proprio l'opposto di quanto si è ottenuto con la formula di Gauss-Green (ricordarsi che in tale formula la frontiera di $S$ si intende percorsa in senso antiorario).
Perfetto, ho rifatto i conti e l'errore che commettevo era proprio quel $(-dt)$. Quindi quel segno mi sballava tutto il resto. Ora viene anche a me $0.381$ che è l'opposto di quello svolto con G.G.
Grazie mille!!!
Grazie mille!!!
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