INTEGRALE CURVILINEO

[natasha2]

ciao, qualcuno puo aiutarmi a risolvere questo integrale curvilineo:
(non sono riuscita a capire come si scrivono gli integrali con questo codice, scusate se lo scrivo a parole, mi rendo conto che è poco comprensibile, ma mi serve urgentemente la soluzione).
integrale lungo gamma di (x-y)ds, dove gamma è la frontiera di k, k=(X^2-Y^2=4,X<=Y,0<=X).
GRAZIE[/code]

[Camillo]

Sei sicura che sia $ x^2-y^2 = 4 $ e non $ x^2+y^2 = 4 $ ?

Camillo

[Sk_Anonymous]

Probabilmente deve essere addirittura $x^2+y^2<=4$ o equivalenti.
Archimede

[Nidhogg]

Ho spostato il topic in Università!

[natasha2]

si, è x^2+y^2<=4, avevo sbagliato a scrivere, scusate

[Sk_Anonymous]

Dette B e C le intersezioni della circonferenza con le rette y=x e x=0 ,si vede che
la frontiera e' formata dal segmento OB ( da O verso B),dall'arco BC ( da B verso C)
e dal segmento CO (da C verso O).
Su OB si ha:
1)$x=y=t, ds=sqrt2dt,0<=t<=sqrt2$ e quindi:
$int_(OB)(x-y)ds=0$
Su BC :
2) $x=2cost,y=2sint,ds=2dt,pi/4<=t<=pi/2$ e quindi:
$int_(BC)(x-y)ds=4int_(pi/4)^(pi/2)(cost-sint)dt=4(1-sqrt2)$
Su CO :
3)$x=0,y=t,ds=dt,0<=t<=2$ e quindi:
$int_(CO)(x-y)ds=int_2^0(-t)dt=2$
Sommando 1,2 e 3 risulta:
[size=150]$int_(gamma)(x-y)ds=2(3-2sqrt2)$[/size]
Archimede

[natasha2]

grazie mille. Se avessi percorso la curva in senso orario anzichè antiorario, sarebbe cambiato qualcosa? Solo il segno? Sapreste dirmi se esiste qualche testo in cui posso trovare qualche spiegazione riguardo l'orientazione e l'eventuale cambiamento di segno?

[Sk_Anonymous]

Per convenzione universalmente accettata il verso positivo di percorrenza
della frontiera di un dominio (semplicemente connesso) e' quello di un osservatore
che percorre tale frontiera lasciando l'interno del dominio sempre alla sua sinistra.
Cambiando il verso l'integrale cambia ovviamente di segno;un qualsiasi testo
di analisi riporta in genere nozioni sull'orientamento (ma personalmente
non reputo che ci siano trattazioni particolari per una cosa di questo tipo).
Archimede