Integrale curvilineo
Salve a tutti. Sto svolgendo questo integrale curvilineo e non so se sia giusto il procedimento che sto adottando.
Il testo dell'esercizio chiede:
Sia \[ \gamma \] la curva data dall'intersezione della superficie \[ x^2+y^2-z=0\] ed il piano \[ x=y \]
Determinare la lunghezza della parte di gamma delimitata dai punti \[ A=(0,0,0) \ B=(1,1,2) \]
Abbiamo un paraboloide ellittico e ho parametrizzato il piano come segue:
[tex]\gamma: \begin{cases}
x = t \\
y= t \\
\end{cases}[/tex]
con \[ t\in [0, \frac{\sqrt{2}}{2}] \]
\[ ds=\sqrt{2}dt \]
Ora come imposto il mio integrale?
Nutro dei dubbi...
Graziee!
Il testo dell'esercizio chiede:
Sia \[ \gamma \] la curva data dall'intersezione della superficie \[ x^2+y^2-z=0\] ed il piano \[ x=y \]
Determinare la lunghezza della parte di gamma delimitata dai punti \[ A=(0,0,0) \ B=(1,1,2) \]
Abbiamo un paraboloide ellittico e ho parametrizzato il piano come segue:
[tex]\gamma: \begin{cases}
x = t \\
y= t \\
\end{cases}[/tex]
con \[ t\in [0, \frac{\sqrt{2}}{2}] \]
\[ ds=\sqrt{2}dt \]
Ora come imposto il mio integrale?
Nutro dei dubbi...
Graziee!
Risposte
Attenzione alla parametrizzazione:
$\gamma = { ( x=t ),( y=t ),( z=2t^2 ):}$
e quindi
$ds = \sqrt 2\sqrt(1+8t^2) $
L'integrale e' semplicemente:
$\int_A^B ds = \int_0^1 \sqrt 2\sqrt(1+8t^2) dt$
Per risolvere l'integrale credo che devi sostituire $\sqrt 8 t = \sinh \theta$
$\gamma = { ( x=t ),( y=t ),( z=2t^2 ):}$
e quindi
$ds = \sqrt 2\sqrt(1+8t^2) $
L'integrale e' semplicemente:
$\int_A^B ds = \int_0^1 \sqrt 2\sqrt(1+8t^2) dt$
Per risolvere l'integrale credo che devi sostituire $\sqrt 8 t = \sinh \theta$
Ciao Dr.Hermann,
Il presente post solo per dire che l'integrale citato può essere facilmente ricondotto a quello già ampiamente discusso qui, dove puoi trovare diversi metodi di soluzione, fra i quali anche quello suggerito da Quinzio.
"Quinzio":
L'integrale e' semplicemente:
$ \int_A^B \text{d}s =\int_0^1 \sqrt{2} \sqrt{1 + 8t^2}\text{d}t $
Per risolvere l'integrale credo che devi sostituire $8\sqrt{t} = sinh\theta $
Il presente post solo per dire che l'integrale citato può essere facilmente ricondotto a quello già ampiamente discusso qui, dove puoi trovare diversi metodi di soluzione, fra i quali anche quello suggerito da Quinzio.
"Quinzio":
Attenzione alla parametrizzazione:
$\gamma = { ( x=t ),( y=t ),( z=2t^2 ):}$
e quindi
$ds = \sqrt 2\sqrt(1+8t^2) $
L'integrale e' semplicemente:
$\int_A^B ds = \int_0^1 \sqrt 2\sqrt(1+8t^2) dt$
Per risolvere l'integrale credo che devi sostituire $\sqrt 8 t = \sinh \theta$
capito!
Un "paraboloide ellittico" è una superficie in $RR^3$, non una curva!
Ad ogni buon conto, facendo un disegno si vede che la tua curva è una parabola standard nel piano $Otz$ che ha origine in $O$, asse delle ordinate coincidente con $z$ ed asse delle ascisse $t$ coincidente con la bisettrice I-III del piano $Oxy$, in particolare quella di equazione $z=2t^2$.
La lunghezza di un arco di parabola si calcola con un integrale di una variabile senza scomodare quasi nessuna nozione di Analisi II.
Ad ogni buon conto, facendo un disegno si vede che la tua curva è una parabola standard nel piano $Otz$ che ha origine in $O$, asse delle ordinate coincidente con $z$ ed asse delle ascisse $t$ coincidente con la bisettrice I-III del piano $Oxy$, in particolare quella di equazione $z=2t^2$.
La lunghezza di un arco di parabola si calcola con un integrale di una variabile senza scomodare quasi nessuna nozione di Analisi II.
In effetti, come spesso accade, ha ragione gugo82... Non serve neanche parametrizzare, perché si ricava subito $z = z(x) = 2x^2 $, quindi si ha:
$ L_{\gamma}[0, 1] = \int_0^1 \text{d}s = \int_0^1 \sqrt{1 + 16x^2}\text{d}x = 1/2[x \sqrt(1 + 16x^2) + 1/4 ln(\sqrt(1 + 16x^2) + 4x)]_0^1 = $
$ = \sqrt(17)/2 + 1/8 ln(\sqrt(17) + 4) $
$ L_{\gamma}[0, 1] = \int_0^1 \text{d}s = \int_0^1 \sqrt{1 + 16x^2}\text{d}x = 1/2[x \sqrt(1 + 16x^2) + 1/4 ln(\sqrt(1 + 16x^2) + 4x)]_0^1 = $
$ = \sqrt(17)/2 + 1/8 ln(\sqrt(17) + 4) $
"Dr.Hermann":
[quote="Quinzio"]Attenzione alla parametrizzazione:
$\gamma = { ( x=t ),( y=t ),( z=2t^2 ):}$
e quindi
$ds = \sqrt 2\sqrt(1+8t^2) $
L'integrale e' semplicemente:
$\int_A^B ds = \int_0^1 \sqrt 2\sqrt(1+8t^2) dt$
Per risolvere l'integrale credo che devi sostituire $\sqrt 8 t = \sinh \theta$
[/quote]
Sarebbe corretto svolgerlo cosi?
$ \sqrt 2int_0^1 \sqrt(1+8t^2) dt $
$\sqrt 8 t = \sinhx$
otterrei:
$ t= 1/sqrt{8}sinhx,\ dt=1/sqrt{8}coshx\ dx $ Riguardo gli estremi di integrazione si avrà:
$ t=0\ x=0, \ t=1\ x= arcsinh(sqrt8) $
$ 1/2\int_{0}^{arcsinh(sqrt8)} \sqrt(1+sinh^2(x)) cosh(x) dx $
$ 1/2\int_{0}^{arcsinh(sqrt8)} cosh^2(x) dx $ = $ 1/2[ 1/4 sinh(2x)+x/2] _0^{arcsinh(sqrt8)} $
$ [1/8 sinh(2x)+x/4]_{0}^{arcsinh(sqrt8)} $
Considerando che $ arcsinh(x)= ln(x + sqrt{ x^2+1)} $ provo a sostituire:
$1/8 sinh[2ln(sqrt8 +3)]+1/4ln(sqrt8 +3) $
Sono giusti i passaggi??
"Dr.Hermann":
Sono giusti i passaggi??
Attenzione alla corretta osservazione di gugo82 e alla mia successiva risoluzione.
Poi si ha:
$\text{arcsinh}(u) = ln(u + \sqrt{u^2+1}) $
Quindi se $u = 4x $ si ha:
$\text{arcsinh}(4x) = ln(4x + sqrt{16x^2 + 1}) $
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo