Integrale Curvilineo
Salve.
Vi chiedo aiuto su questo integrale curvilineo:
\[ \oint_{\gamma} \frac{y^2 z} {\sqrt{1+x/R}} dS \]
dove gamma è la linea determinata dall'intersezione tra l'emisfera di eq:
[tex]S: \begin{cases}
x^2 + y^2 + z^2 &= R^2 \\
z \geq 0\\
\end{cases}[/tex]
e il cilindro:
[tex]C: \begin{cases}
x^2 + y^2 - Rx &= 0 \\
R > 0\\
\end{cases}[/tex]
Almeno a livello teorico sapete darmi un'indirizzata su come impostarlo? Io pensavo di lavorare di sostituzione nei sistemi e ricavarmi la Rx che poi sostituivo sopra al sistema S. Però non mi convince. Qualcuno potrebbe aiutarmi?
Grazie
Vi chiedo aiuto su questo integrale curvilineo:
\[ \oint_{\gamma} \frac{y^2 z} {\sqrt{1+x/R}} dS \]
dove gamma è la linea determinata dall'intersezione tra l'emisfera di eq:
[tex]S: \begin{cases}
x^2 + y^2 + z^2 &= R^2 \\
z \geq 0\\
\end{cases}[/tex]
e il cilindro:
[tex]C: \begin{cases}
x^2 + y^2 - Rx &= 0 \\
R > 0\\
\end{cases}[/tex]
Almeno a livello teorico sapete darmi un'indirizzata su come impostarlo? Io pensavo di lavorare di sostituzione nei sistemi e ricavarmi la Rx che poi sostituivo sopra al sistema S. Però non mi convince. Qualcuno potrebbe aiutarmi?
Grazie
Risposte
Ciao! Perché non dovrebbe convincerti? Il problema ti sta dicendo esplicitamente che la curva $\gamma$ si ottiene per intersezione tra $S$ e $C$, questo significa proprio che le uguaglianze (e disuguaglianze) in $S$ e $C$ devono valere simultaneamente. Perciò puoi sostituire quelle di $S$ in $C$ e viceversa, e puoi sostituirle anche nell'integrale perché esso è calcolato proprio lungo $\gamma$, ossia il luogo di punti in cui quelle uguaglianze valgono simultaneamente.
P.S.: Sicuro che non ci sia un segno meno (anziché più) nella radice presente nella funzione integranda o un segno più (anziché meno) davanti $Rx$ nell'equazione del cilindro? Perché, secondo me, è più conveniente ricavare $z$ in funzione di $R$ e $x$, ma non mi torna un segno nei conti che porterebbe a un'ottima semplificazione della funzione integranda.
P.S.: Sicuro che non ci sia un segno meno (anziché più) nella radice presente nella funzione integranda o un segno più (anziché meno) davanti $Rx$ nell'equazione del cilindro? Perché, secondo me, è più conveniente ricavare $z$ in funzione di $R$ e $x$, ma non mi torna un segno nei conti che porterebbe a un'ottima semplificazione della funzione integranda.
Ciao Mephlip. I segni che ho messo sono corretti, almeno dal testo che ho sotto mano. Questo esercizio è di un esame di analisi 2. Di più non so che dire.
Ok! Visto che $x^2+y^2-Rx=0 \iff \left(x-\frac{R}{2}\right)^2+y^2=\left(\frac{R}{2})^2$, la curva $\gamma$ è l'intersezione tra la superficie della semisfera nel semispazio $z \ge 0$ di centro l'origine e raggio $R$ e il cilindro infinito individuato dalla circonferenza sul piano $xy$ di centro $\left(\frac{R}{2},0\right)$ e raggio $\frac{R}{2}$.
Perciò proverei a parametrizzare l'intersezione in coordinate cilindriche, con polo il punto $\left(\frac{R}{2},0\right)$ e semiasse polare la semiretta uscente dal polo, parallela e concorde all'asse delle $x$.
Dunque possiamo parametrizzare $\gamma:[0,2\pi] \to \mathbb{R}^3$ ponendo $\gamma(\theta)=\left(\frac{R}{2} \cos \theta, \frac{R}{2} \sin \theta, z(\theta)\right)$, ottenendo $z(\theta)$ dal fatto che $x^2+y^2=Rx$ e
$$x^2+y^2+z^2=R^2 \iff Rx+z^2=R^2 \iff z^2=R^2-Rx=R^2\left(1-\frac{x}{R}\right)$$
$$\implies z^2= R^2\left(1-\frac{x}{R}\right)\iff z(\theta)=R\sqrt{1-\frac{x(\theta)}{R}}=R\sqrt{1-\frac{1}{2} \cos \theta}$$
Dove ho scelto la radice positiva perché, per ipotesi, è $z \ge 0$ e $x(\theta)=\frac{R}{2} \cos \theta$ viene dalla definizione della parametrizzazione.
Quindi l'integrale è da calcolare nell'intervallo $[0,2\pi]$, va moltiplicata la funzione integranda composta con $\gamma$ per la norma di $\gamma'(\theta)$ e sperabilmente verrà qualcosa di fattibile. A dir la verità non ci ho perso molto tempo, quindi potrei aver sbagliato o potrei non aver visto un approccio più semplice (tipo teorema di Stokes).
Perciò proverei a parametrizzare l'intersezione in coordinate cilindriche, con polo il punto $\left(\frac{R}{2},0\right)$ e semiasse polare la semiretta uscente dal polo, parallela e concorde all'asse delle $x$.
Dunque possiamo parametrizzare $\gamma:[0,2\pi] \to \mathbb{R}^3$ ponendo $\gamma(\theta)=\left(\frac{R}{2} \cos \theta, \frac{R}{2} \sin \theta, z(\theta)\right)$, ottenendo $z(\theta)$ dal fatto che $x^2+y^2=Rx$ e
$$x^2+y^2+z^2=R^2 \iff Rx+z^2=R^2 \iff z^2=R^2-Rx=R^2\left(1-\frac{x}{R}\right)$$
$$\implies z^2= R^2\left(1-\frac{x}{R}\right)\iff z(\theta)=R\sqrt{1-\frac{x(\theta)}{R}}=R\sqrt{1-\frac{1}{2} \cos \theta}$$
Dove ho scelto la radice positiva perché, per ipotesi, è $z \ge 0$ e $x(\theta)=\frac{R}{2} \cos \theta$ viene dalla definizione della parametrizzazione.
Quindi l'integrale è da calcolare nell'intervallo $[0,2\pi]$, va moltiplicata la funzione integranda composta con $\gamma$ per la norma di $\gamma'(\theta)$ e sperabilmente verrà qualcosa di fattibile. A dir la verità non ci ho perso molto tempo, quindi potrei aver sbagliato o potrei non aver visto un approccio più semplice (tipo teorema di Stokes).
Quindi se ho capito, devo sostituire nell'integrale la parametrizzazione di x,y,z, ovvero \[ \frac{R}{2} cos\theta, \frac{R}{2} sin\theta, R \sqrt{1- \frac{1}{2} cos\theta} \]
Poi devo moltiplicarlo per la norma di \[ \gamma' (\theta)\]
Sarebbe il mio dS?
Poi devo moltiplicarlo per la norma di \[ \gamma' (\theta)\]
Sarebbe il mio dS?
Sì, è proprio la definizione di integrale curvilineo. Data una parametrizzazione $\gamma:[a,b] \to \mathbb{R}^3$ definita da $\gamma(t)=(x(t),y(t),z(t))$, hai che
$$\int_\gamma f(x,y,z) \text{d}\mathcal{L} \overset{\text{def}}{=} \int_a^b f(\gamma(t)) \|\gamma'(t)\| \text{d}t=\int_a^b f(x(t),y(t),z(t)) \|\gamma'(t)\| \text{d}t$$
$$\int_\gamma f(x,y,z) \text{d}\mathcal{L} \overset{\text{def}}{=} \int_a^b f(\gamma(t)) \|\gamma'(t)\| \text{d}t=\int_a^b f(x(t),y(t),z(t)) \|\gamma'(t)\| \text{d}t$$
Perfetto. Ora provo a farlo. In caso metto qui i passaggi se riesco a finirlo tutto o almeno fino a dove sono arrivato 
Con qualche calcolo mi sono fermato qui:
\[ \int_{0}^{2\pi} \frac{R^3 \sin^2\theta \sqrt{1- \frac{\cos\theta}{2}}} {4\sqrt{1+ \frac{\cos\theta}{2}}} \sqrt{\frac{R^2}{4} + \frac{R^2 sin^2\theta} {16-8cos\theta}} d\theta \]
Non so come procedere oltre...
\[ \int_{0}^{2\pi} \frac{R^3 \sin^2\theta \sqrt{1- \frac{\cos\theta}{2}}} {4\sqrt{1+ \frac{\cos\theta}{2}}} \sqrt{\frac{R^2}{4} + \frac{R^2 sin^2\theta} {16-8cos\theta}} d\theta \]
Non so come procedere oltre...
Ciao Dr.Hermann,
Direi che si tratta della famosa finestra di Viviani.
Parametrizzando opportunamente si ha:
$\gamma(\theta) = (x(\theta),y(\theta),z(\theta)) = (R/2(1 + cos \theta), \frac{R}{2} sin\theta, R sin(\theta/2)) $
con $\theta \in [0, 2\pi] $
Quindi
$ \||\gamma'(\theta)\|| = \sqrt{(- R/2 sin\theta)^2 + (R/2 cos\theta)^2 + (R/2 cos(\theta/2))^2} = R/2 sqrt{1 + cos^2(\theta/2)} $
Ricapitolando si ha:
$ \int_{\gamma} \frac{y^2 z}{\sqrt{1+x/R}} dS = \int_0^{2\pi} \frac{(R^2/4 sin^2\theta) R sin(\theta/2)}{\sqrt{1+1/2 + 1/2 cos\theta}} R/2 sqrt{1 + cos^2(\theta/2)} \text{d}\theta = $
$ = R^4/8 \int_0^{2\pi} \frac{sin^2\theta sin(\theta/2)}{\sqrt{3/2+1/2 cos\theta}} sqrt{1 + cos^2(\theta/2)} \text{d}\theta = R^4/8 \int_0^{2\pi} \frac{sin^2\theta sin(\theta/2)}{\sqrt{3/2+1/2 cos\theta}} sqrt{3/2 + 1/2 cos\theta} \text{d}\theta = $
$ = R^4/8 \int_0^{2\pi} sin^2\theta sin(\theta/2) \text{d}\theta = ... = R^4/8 \cdot 32/15 = 4/15 R^4 $
Direi che si tratta della famosa finestra di Viviani.
Parametrizzando opportunamente si ha:
$\gamma(\theta) = (x(\theta),y(\theta),z(\theta)) = (R/2(1 + cos \theta), \frac{R}{2} sin\theta, R sin(\theta/2)) $
con $\theta \in [0, 2\pi] $
Quindi
$ \||\gamma'(\theta)\|| = \sqrt{(- R/2 sin\theta)^2 + (R/2 cos\theta)^2 + (R/2 cos(\theta/2))^2} = R/2 sqrt{1 + cos^2(\theta/2)} $
Ricapitolando si ha:
$ \int_{\gamma} \frac{y^2 z}{\sqrt{1+x/R}} dS = \int_0^{2\pi} \frac{(R^2/4 sin^2\theta) R sin(\theta/2)}{\sqrt{1+1/2 + 1/2 cos\theta}} R/2 sqrt{1 + cos^2(\theta/2)} \text{d}\theta = $
$ = R^4/8 \int_0^{2\pi} \frac{sin^2\theta sin(\theta/2)}{\sqrt{3/2+1/2 cos\theta}} sqrt{1 + cos^2(\theta/2)} \text{d}\theta = R^4/8 \int_0^{2\pi} \frac{sin^2\theta sin(\theta/2)}{\sqrt{3/2+1/2 cos\theta}} sqrt{3/2 + 1/2 cos\theta} \text{d}\theta = $
$ = R^4/8 \int_0^{2\pi} sin^2\theta sin(\theta/2) \text{d}\theta = ... = R^4/8 \cdot 32/15 = 4/15 R^4 $
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