Integrale curvilineo

[piergiorgiof1]

Ciao a tutti, non riesco a risolvere il primo esercizio del libro. Brutto segno

$\int_{\gamma} (x+y) dx$

con $\gamma$ frontiera del triangolo di vertici $(0,0),(1,0),(1,1)$ percorsa in senso orario
__________________________________________________________________________________
Ho iniziato quindi a parametrizzare da $(0,1)$ a $(0,0)$

$y=0$ $\{(x=t),(y=0):}$ $t \in [1,0]$

poi da $(0,0)$ a $(1,1)$

$y=x$ $\{(x=t),(y=t):}$ $t \in [0,1]$

e infine da $(1,1)$ a $(0,1)$

$x=1$ $\{(x=1),(y=t):}$ $t \in [1,0]$

$=\int_1^0tdt+\int_0^1 2tsqrt(2)dt+\int_0^1(1+t)dt$

Che farebbe $1+sqrt(2)$, mentre il risultato del libro è $1/2$ qualcuno sa dirmi dove sbaglio?

[quantunquemente]

prima di tutto,osserviamo che nell'integrale c'è $dx$ e non $ds$

1) $ { ( x=t ),( y=t ):} $ , $t in [0,1]$ ,$dx=dt$
$ int_(0)^(1) 2t dt= 1 $

2) $ { ( x=1 ),( y=t-1 ):} $ ,$t in [0,1]$,$dx=0$
l'integrale vale zero

3) $ { ( x=t-1 ),( y=0 ):} $ ,$t in [0,1]$;$dx=dt$
$ int_(0)^(1) (t-1) dt=-1/2 $

[mazzarri1]

Provo ad aggiungere la mia risposta dove non si fa uso di parametri

Nel primo tratto (0,0)->(1,1) hai $y=x$ quindi

$int (x+y) dx = int_0^1 2x dx =1$

nel secondo tratto (1,1)->(1,0) hai $dx=0$ quindi l'integrale è nullo

nel terzo tratto (1,0)->(0,0 hai $y=0$ quindi l'integrale è

$int (x+y) dx = int_1^0 x dx = - int_0^1 x dx = -1/2$

In totale quindi hai $int (x+y) dx = = 1+0-1/2 = 1/2$

ciao!

[piergiorgiof1]

grazie ho capito l'errore