Integrale curvilineo
[tex]\int_{\gamma} \bar{z}^2dz[/tex]
dove [tex]\gamma[/tex] è la curva definita da [tex]\gamma = {[z \in C : |z|=1, \pi
posso scomporre il coniugato nelle rappresentazioni polari ovvero: [tex]\bar{z}=(cos \theta - isin \theta)[/tex]
quindi verrebbe:
[tex]\int_{\gamma} \bar{z}^2dz = \int_{\\pi}^{2 \pi} (cos \theta - isin \theta)^2 d \theta[/tex]
mentre nella risoluzione dell'esercizio lo scompone diversamente = [tex]\int_{\gamma} \bar{z}^2dz = \int_{\\pi}^{2 \pi} (cos \theta - isin \theta)^2 (+icos \theta -sin \theta) d \theta[/tex]
mi potreste spiegare il perchè???
grazie mille in anticipo
dove [tex]\gamma[/tex] è la curva definita da [tex]\gamma = {[z \in C : |z|=1, \pi
posso scomporre il coniugato nelle rappresentazioni polari ovvero: [tex]\bar{z}=(cos \theta - isin \theta)[/tex]
quindi verrebbe:
[tex]\int_{\gamma} \bar{z}^2dz = \int_{\\pi}^{2 \pi} (cos \theta - isin \theta)^2 d \theta[/tex]
mentre nella risoluzione dell'esercizio lo scompone diversamente = [tex]\int_{\gamma} \bar{z}^2dz = \int_{\\pi}^{2 \pi} (cos \theta - isin \theta)^2 (+icos \theta -sin \theta) d \theta[/tex]
mi potreste spiegare il perchè???
grazie mille in anticipo
Risposte
Perché devi calcolare anche cosa viene fuori per $dz$, se scrivi $z=\cos\theta+i\sin\theta$.
io parametrizzerei la curva in questo modo
[tex]\gamma = {[z \in C : z=e^{i \theta}, \pi<\theta<2 \pi ]}[/tex]
ottenendo
[tex]\int_{\gamma} \bar{z}^2dz= \int_{\pi}^{2 \pi} e^{-i2\theta} J d \theta[/tex]
dove [tex]J= {\partial z(\theta) }/{ \partial \theta} = i e^{i \theta}[/tex] , di conseguenza
[tex]\int_{\gamma} \bar{z}^2dz= i \int_{\pi}^{2 \pi} e^{-i\theta} d \theta = - e^{-i 2 \pi } + e^{-i\pi}= -2[/tex]
[tex]\gamma = {[z \in C : z=e^{i \theta}, \pi<\theta<2 \pi ]}[/tex]
ottenendo
[tex]\int_{\gamma} \bar{z}^2dz= \int_{\pi}^{2 \pi} e^{-i2\theta} J d \theta[/tex]
dove [tex]J= {\partial z(\theta) }/{ \partial \theta} = i e^{i \theta}[/tex] , di conseguenza
[tex]\int_{\gamma} \bar{z}^2dz= i \int_{\pi}^{2 \pi} e^{-i\theta} d \theta = - e^{-i 2 \pi } + e^{-i\pi}= -2[/tex]
"ciampax":
Perché devi calcolare anche cosa viene fuori per $dz$, se scrivi $z=\cos\theta+i\sin\theta$.
che intendi di preciso???
"zerolucat":
io parametrizzerei la curva in questo modo
[tex]\gamma = {[z \in C : z=e^{i \theta}, \pi<\theta<2 \pi ]}[/tex]
ottenendo
[tex]\int_{\gamma} \bar{z}^2dz= \int_{\pi}^{2 \pi} e^{-i2\theta} J d \theta[/tex]
dove [tex]J= {\partial z(\theta) }/{ \partial \theta} = i e^{i \theta}[/tex] , di conseguenza
[tex]\int_{\gamma} \bar{z}^2dz= i \int_{\pi}^{2 \pi} e^{-i\theta} d \theta = - e^{-i 2 \pi } + e^{-i\pi}= -2[/tex]
grazie forse così ho capito ma questo lo posso applicare sempre??
altra cosa come fanno gli esponenziali a far venire -2?
grazie in anticipo
Intendo che
$dz=(-\sin\theta+i\cos\theta)\ d\theta$
$dz=(-\sin\theta+i\cos\theta)\ d\theta$
si se calcoli integrali curvilinei, in generale avrai che la traiettoria di integrazione può essere parametrizzata come $\gamma = [z \in C : z=f(t), t \in (a,b) ]$ allora $J={\partial f(t)}/{\partial t}$ , in pratica è la stessa identica cosa che dice ciampax 
, ne più ne meno. per quanto riguarda gli exp lo puoi vedere graficamente disegnandoti il cerchio unitario nel piano complesso oppure usando la formula di eulero, anche se mi sembra un po' eccessivo
ciao
, ne più ne meno. per quanto riguarda gli exp lo puoi vedere graficamente disegnandoti il cerchio unitario nel piano complesso oppure usando la formula di eulero, anche se mi sembra un po' eccessivo ciao
Aggiungo a quanto detto da zerolucat: in realtà è sempre la stessa cosa, a causa dell'identità di Eulero
$e^{i\theta}=\cos\theta+i\isn\theta$
$e^{i\theta}=\cos\theta+i\isn\theta$
grazie mille ad entrambi gentilissimi e rapidi
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