Integrale coordinate polari
L'integrale è questo qui
$ int int_(T)^()(y)/(x^2+y^2) dx dy $
T = {(x,y) e R^2 : $ 1<= y<= 2,x^2+y^2<= 4 $ }
io avevo pensato di calcolare l integrale in coordinate polari
la parte interessata è quella compresa tra le due rette e la circonferenza
quindi
$ -2<= rho<= +2,pi /6<= vartheta<= 5/6pi $
potete dirmi se ho calcolato ro e theta nella maniera opportuna?
$ int int_(T)^()(y)/(x^2+y^2) dx dy $
T = {(x,y) e R^2 : $ 1<= y<= 2,x^2+y^2<= 4 $ }
io avevo pensato di calcolare l integrale in coordinate polari
la parte interessata è quella compresa tra le due rette e la circonferenza
quindi
$ -2<= rho<= +2,pi /6<= vartheta<= 5/6pi $
potete dirmi se ho calcolato ro e theta nella maniera opportuna?
Risposte
Non va bene....
allora come dovrei fare
"Benten22":
T = {(x,y) e R^2 : $ 1<= y<= 2,x^2+y^2<= 4 $ }
la parte interessata è quella compresa tra le due rette e la circonferenza
quindi
$ -2<= rho<= +2,pi /6<= vartheta<= 5/6pi $
potete dirmi se ho calcolato ro e theta nella maniera opportuna?
A parte il fatto che \(\rho\) è un numero positivo, quindi la prima disuguaglianza non serve a nulla, la verifica la puoi fare semplicemente capendo come le coordinate polari agiscono sui punti del piano \(O\rho \theta\) trasformandoli in punti del piano \(Oxy\).
L'insieme \(R\) definito in \(O\rho\theta\) dalle limitazioni che imponi, i.e. \(0\leq \rho\leq 2\) e \(\pi/6\leq \theta \leq 5\pi/6\), è un rettangolo:
[asvg]xmin=0;xmax=3;ymin=0;ymax=3;
axes("","");
stroke="red"; strokewidth=2; path([[0,0.524],[2,0.524],[2,2.62],[0,2.62],[0,0.524]]);[/asvg]
che dalla trasformazione polare:
\[
\begin{cases} x=\rho\ \cos \theta\\
y=\rho\ \sin \theta
\end{cases}
\]
viene trasformato nel piano \(Oxy\) in un settore circolare, chiamiamolo \(\Phi(R)\) (infatti, tutti i punti con \(\rho=0\), i.e. quelli del primo lato verticale di \(R\), collassano nell'origine; mentre quelli dell'altro lato verticale, con \(rho=2\), si deformano sull'arco di circonferenza delimitato dalle semirette di anomalie \(\pi/6\) e \(5\pi/6\), che sono i trasformati dei lati orizzontali):
[asvg]xmin=-2;xmax=2;ymin=-1;ymax=3;
axes("","");
stroke="red"; strokewidth=2; arc([1.732,1],[-1.732,1],2); path([[-1.732,1],[0,0],[1.732,1]]);[/asvg]
Questo settore è ben diverso dall'insieme che intendevi rappresentare, il quale era il seguente:
[asvg]xmin=-2;xmax=2;ymin=-1;ymax=3;
axes("","");
stroke="dodgerblue"; strokewidth=2; arc([1.732,1],[-1.732,1],2); line([-1.732,1],[1.732,1]);[/asvg]
quindi non hai trovato la rappresentazione buona.
***
Qualitativamente parlando, devi eliminare qualcosa da dentro \(R\) per ottenere una rappresentazione del tuo dominio, poiché \(\Phi(R)\) contiene più punti di \(D\).
Quanto "in più" c'è, c'è perché non hai utilizzato in alcun passaggio la limitazione \(y\geq 1\). Usandola, trovi che \(\rho\ \sin \theta \geq 1\), ossia che \(\rho \geq \frac{1}{\sin \theta}\).
Pertanto l'insieme \(U\) tale che \(\Phi (U)=D\) è quello del piano \(O\rho\theta\) definito dalle limitazioni \(\pi/6 \leq \theta\leq 5\pi/6\) e \(1/\sin \theta \leq \rho\leq 2\), cioé:
\[
U:=\left\{ (\rho ,\theta):\ \theta \in [\pi/6,5\pi/6],\ \frac{1}{\sin \theta}\leq \rho \leq 2\right\}\; ,
\]
ed è disegnato appresso (insieme al bordo della porzione di \(R\) che è stata eliminata imponendo le giuste restrizioni):
[asvg]xmin=0;xmax=3;ymin=0;ymax=3;
axes("","");
stroke="red"; strokewidth=0.5; path([[2,2.62],[0,2.62],[0,0.524],[2,0.524]]);
stroke="dodgerblue"; strokewidth=2; plot("arcsin(1/x)",1,2); plot("3.141-arcsin(1/x)",1,2); line([2,2.62],[2,0.524]);[/asvg]
quindi diventa $ int_0^2drho *int_(pi /6)^(5/6pi) rho *(rho sentheta)/(rho^2cos^2theta +rho^2sen^2theta) dvartheta $
Ma anche no.
Leggi bene ciò che ho scritto.
Leggi bene ciò che ho scritto.
$ int_(1/(sentheta))^2 d rho * int_(pi/6)^(5/6pi) rho * (rhosentheta)/(rho^2sen^2theta+rho^2cos^2theta)dvartheta $
= $ int_(pi/6)^(5/6pi)(rho^2sentheta)/(rho^2)dvartheta =
[sentheta]_(pi/6)^(5/6pi) = 5/6pi - pi /6= 2/3pi
int _((1)/(sentheta)) ^2drho $
$ 2/3pi [rho]_((1)/(sentheta)) ^2 = 2/3 pi [4-1/(sentheta)] $
fino qui tutto ok?
= $ int_(pi/6)^(5/6pi)(rho^2sentheta)/(rho^2)dvartheta =
[sentheta]_(pi/6)^(5/6pi) = 5/6pi - pi /6= 2/3pi
int _((1)/(sentheta)) ^2drho $
$ 2/3pi [rho]_((1)/(sentheta)) ^2 = 2/3 pi [4-1/(sentheta)] $
fino qui tutto ok?
Ma in che ordine fai le integrazioni?
Ti pare normale che un integrale definito dipenda dalla varibile d'integrazione (\(\theta\))?
Hai capito cosa stai facendo? O stai facendo tutto meccanicamente?
Ti pare normale che un integrale definito dipenda dalla varibile d'integrazione (\(\theta\))?
Hai capito cosa stai facendo? O stai facendo tutto meccanicamente?
ok l h capito dove ho sbagliato non c'è bisogno di rispondere cosi
"Benten22":
ok l h capito dove ho sbagliato non c'è bisogno di rispondere cosi
Non intendevo aggredire (anche perché non è un problema mio se tu hai capito o no).
Semplicemente ho "chiesto per sapere", perché da come scrivi i passaggi (solo quelli, privi di ogni commento, come se fossi una calcolatrice e non un essere umano con i suoi percorsi mentali, dubbi e convinzioni) non riuscivo a capire qual era il polso della situazione.
Sei sicuro di aver capito cosa avevi sbagliato?
(In realtà anche nell'errore avevi sbagliato... Quindi la cosa era preoccupante)
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