Integrale convoluzione

[tommyr22-votailprof]

salve ragazzi,
mi trovo di fronte ad un banale problema che non riesco a venirne a capo.
In pratica devo fare la convoluzione:
$(e^-t -cos(t))*(X_(0,1))$
dove $X_0,1$ è la funzione caratteristica.
adesso divido l'ntegrale in 2 parti, per $01$.
il primo integrale non è altro che l'integrale di $e^-(t-a) -cos(t-a)$ tra 0 e t per $0 ma il secondo non mi risulta, come devo farlo?
ho provato secondo un mio ragionamento a fare l'integrale tra 0 e 1 + l'integrale tra 1 a t ma non risulta.

grazie

[gugo82]

Insomma vuoi calcolare eplicitamente:
\[
\int_{-\infty}^{+\infty} (e^{-(t-s)}-\cos (t-s))\ \chi_{[0,1]}(s)\ \text{d} s\ldots
\]
Beh, tenendo presente che \(\chi_{[0,1]}\) vale \(1\) in \([0,1]\) e zero altrove, l'integrale di prima si scrive semplicemente:
\[
\int_0^1 (e^{-(t-s)}-\cos (t-s))\ \text{d} s = \int_0^1 e^{-(t-s)}\ \text{d} s -\int_0^1\cos (t-s)\ \text{d} s
\]
e calcolarlo è un problema di Analisi I.

[tommyr22-votailprof]

ok fin quì c'ero, però il problema è che nella soluzione che ho le soluzioni vengono divise in base a $t$ come ho detto prima.
per fare un altro esempio mi si chiede di calcolare la convoluzione tra:

$(1-cos(t))*(X_(1,2))$
questa è uguale a:
$0$ per $0 $t-t-sen(t-1)$ per $1 $1+sen(t-2)-sen(t-1)$ per $t>2$

adesso il primo caso è ovvio proprio per la funzione caratteristica.
il secondo caso faccio l'integrale tra 1 e t e risulta.
il terzo caso non mi risulta proprio