Integrale converge o diverge?
Salve a tutti come faccio a vedere se l'integrale $ int_(1)^(sqrt3) 1/sqrt(3-x^2) dx $ è convergente?
Avevo pensato di vedere se converge la serie $ sum_(x = 0)^(oo) 1/sqrt(3-x^2) $ è giusto?
In caso affermativo come devo procedere?
Avevo pensato di vedere se converge la serie $ sum_(x = 0)^(oo) 1/sqrt(3-x^2) $ è giusto?
In caso affermativo come devo procedere?
Risposte
Ciao,
penso che un metodo sia di provare con la definizione:
$ int_(1)^(sqrt3) 1/sqrt(3-x^2) dx = lim_{epsilon->0,epsilon>0} int_(1+epsilon)^(sqrt3) 1/sqrt(3-x^2) dx$ e vedere come si comporta al limite.
Prova, se non ho detto castronerie
penso che un metodo sia di provare con la definizione:
$ int_(1)^(sqrt3) 1/sqrt(3-x^2) dx = lim_{epsilon->0,epsilon>0} int_(1+epsilon)^(sqrt3) 1/sqrt(3-x^2) dx$ e vedere come si comporta al limite.
Prova, se non ho detto castronerie
C'è un problema in $\x=sqrt(3)$ dove la funzione integranda non è definita.
Per cui $\lim_(x->sqrt(3)^-)1/sqrt(3-x^2)= lim_(x->sqrt(3)^-)1/sqrt((sqrt(3)-x)(sqrt(3)+x))$ che è un infinito di ordine < 1, quindi la funzione è integrabile in senso improprio.
Per cui $\lim_(x->sqrt(3)^-)1/sqrt(3-x^2)= lim_(x->sqrt(3)^-)1/sqrt((sqrt(3)-x)(sqrt(3)+x))$ che è un infinito di ordine < 1, quindi la funzione è integrabile in senso improprio.
non saprei come procedere, non ho mai usato questo metodo...
Infatti ho fatto un piccolo (!!) errore, se è corretto l'utilizzo in questo caso di questo metodo (integrale improprio), dovrebbe essere:
$ int_(1)^(sqrt3) 1/sqrt(3-x^2) dx = lim_{epsilon->0,epsilon>0} int_(1)^(sqrt3-epsilon) 1/sqrt(3-x^2) dx$ e vedere il limite.
Ma te hai calcolato il limite di $f(x)$? devi guardare il limite dell'integrale...
EDIT: ho visto dopo che hai scritto che non hai mai utilizzato questo metodo. Semplicemente di calcoli normalmente l'integrale ma gli estremi sono $[a,b-epsilon]$, Una volta fatto studi il limite.
Corretto anche un errore.
$ int_(1)^(sqrt3) 1/sqrt(3-x^2) dx = lim_{epsilon->0,epsilon>0} int_(1)^(sqrt3-epsilon) 1/sqrt(3-x^2) dx$ e vedere il limite.
Ma te hai calcolato il limite di $f(x)$? devi guardare il limite dell'integrale...
EDIT: ho visto dopo che hai scritto che non hai mai utilizzato questo metodo. Semplicemente di calcoli normalmente l'integrale ma gli estremi sono $[a,b-epsilon]$, Una volta fatto studi il limite.
Corretto anche un errore.
Io so che esiste un teorema che afferma che se la funzione integranda tende a infinito di ordine minore di 1 allora è integrabile in senso improprio..quindi si fa il limite della funzione dentro per verificare!
quindi prima risolvo l'integrale:
io farei così: sostituisco $ sqrt(3 - x^2) $ con $t^2$
ma risulta: $ int_(sqrt2)^(0) 1/sqrt(3-t^2) $ ma ritorno come prima... come posso fare?
io farei così: sostituisco $ sqrt(3 - x^2) $ con $t^2$
ma risulta: $ int_(sqrt2)^(0) 1/sqrt(3-t^2) $ ma ritorno come prima... come posso fare?
allora ho capito che non so spiegarmi bene, sorry
L'intgrale da calcolare con estremi $[1,sqrt(3)-epsilon]$ è questo: $int_(1)^(sqrt3-epsilon) 1/sqrt(3-x^2) dx$ Calcola e ne riparliamo dopo del limite.
Perchè sostituire?
$int (f'(x))/sqrt(1-(f(x))^2) = arcsen(x) + c$ con qualche raggruppamento risolvi
Per la questione se utilizzare il metodo che hai proposto, cioè utilizzare una serie per studiarne la convergenza. Questo non è possibile.
Il criterio del confronto integrale (che penso tu ti riferisca) è una implicazione ad una direzione. Studi una serie, allora utilizzi l'integrale, ma non il contrario
L'intgrale da calcolare con estremi $[1,sqrt(3)-epsilon]$ è questo: $int_(1)^(sqrt3-epsilon) 1/sqrt(3-x^2) dx$ Calcola e ne riparliamo dopo del limite.
Perchè sostituire?
$int (f'(x))/sqrt(1-(f(x))^2) = arcsen(x) + c$ con qualche raggruppamento risolvi
Per la questione se utilizzare il metodo che hai proposto, cioè utilizzare una serie per studiarne la convergenza. Questo non è possibile.
Il criterio del confronto integrale (che penso tu ti riferisca) è una implicazione ad una direzione. Studi una serie, allora utilizzi l'integrale, ma non il contrario
Ok, riscrivo f così: $ 1/sqrt(1-(x/sqrt3)^2) $ ma poi non so più che fare...
mmm...cos'è la derivata di $x/sqrt(3)$?
"ham_burst":
mmm...cos'è la derivata di $x/sqrt(3)$?
$sqrt(3)(1-x)/3$
direi di no (dove hai tirato fuori questa derivata?).
$1/sqrt(3)$ è una costante, riguarda come trattare le costanti nelle derivate.
$f'(x/sqrt(3)) = 1/sqrt(3) * 1 = 1/sqrt(3)$
perciò:
$int_(1)^(sqrt(3)-epsilon) 1/sqrt(3-x^2) dx = 1/9*int_(1)^(sqrt(3)-epsilon) 1/sqrt(1-(x/sqrt(3))^2) dx = sqrt(3)/9*int_(1)^(sqrt(3)-epsilon) (1/sqrt(3))/sqrt(1-(x/sqrt(3))^2) dx$
a te concluedere l'integrale. Il limite diventerà "ovvio" come trattarlo.
$1/sqrt(3)$ è una costante, riguarda come trattare le costanti nelle derivate.
$f'(x/sqrt(3)) = 1/sqrt(3) * 1 = 1/sqrt(3)$
perciò:
$int_(1)^(sqrt(3)-epsilon) 1/sqrt(3-x^2) dx = 1/9*int_(1)^(sqrt(3)-epsilon) 1/sqrt(1-(x/sqrt(3))^2) dx = sqrt(3)/9*int_(1)^(sqrt(3)-epsilon) (1/sqrt(3))/sqrt(1-(x/sqrt(3))^2) dx$
a te concluedere l'integrale. Il limite diventerà "ovvio" come trattarlo.
"ham_burst":
direi di no (dove hai tirato fuori questa derivata?).
$1/sqrt(3)$ è una costante, riguarda come trattare le costanti nelle derivate.
$f'(x/sqrt(3)) = 1/sqrt(3) * 1 = 1/sqrt(3)$
perciò:
$int_(1)^(sqrt(3)-epsilon) 1/sqrt(3-x^2) dx = 1/9*int_(1)^(sqrt(3)-epsilon) 1/sqrt(1-(x/sqrt(3))^2) dx = sqrt(3)/9*int_(1)^(sqrt(3)-epsilon) (1/sqrt(3))/sqrt(1-(x/sqrt(3))^2) dx$
a te concluedere l'integrale. Il limite diventerà "ovvio" come trattarlo.
sisi hai ragione, scusa ma non so neanche io cosa ho scritto, sono fulminato
quindi $ lim_(x -> sqrt3 + epsilon) arcsenx/sqrt3 = arcsen (0+epsilon) = 0 $ perciò lintegrale converge.
Ho fatto giusto questa volta?
capitano gli errori 
Comunque:
$sqrt(3)/9 * lim_(epsilon->0) arsen((sqrt(3)-epsilon)/sqrt(3)) - arcsen(1/sqrt(3)) = sqrt(3)/9 * (- (~~35) + lim_(epsilon->0) arsen((sqrt(3)-epsilon)/sqrt(3))) = sqrt(3)/9 * (pi/2 - (~~35)) ~~ 10.5$
il limite esiste ed è finito perciò l'integrale è convergente.
PS: non so se come lo hai fatto te sia possibile, una sostituzione così mi pare corretta, ma non saprei, sorry
Comunque:
$sqrt(3)/9 * lim_(epsilon->0) arsen((sqrt(3)-epsilon)/sqrt(3)) - arcsen(1/sqrt(3)) = sqrt(3)/9 * (- (~~35) + lim_(epsilon->0) arsen((sqrt(3)-epsilon)/sqrt(3))) = sqrt(3)/9 * (pi/2 - (~~35)) ~~ 10.5$
il limite esiste ed è finito perciò l'integrale è convergente.
PS: non so se come lo hai fatto te sia possibile, una sostituzione così mi pare corretta, ma non saprei, sorry
"ham_burst":
perciò:
$int_(1)^(sqrt(3)-epsilon) 1/sqrt(3-x^2) dx = 1/9*int_(1)^(sqrt(3)-epsilon) 1/sqrt(1-(x/sqrt(3))^2) dx = sqrt(3)/9*int_(1)^(sqrt(3)-epsilon) (1/sqrt(3))/sqrt(1-(x/sqrt(3))^2) dx$
Sicuramente il tuo ragionamento è più giusto del mio!
Però non sono riuscito a capire una cosa: $ 1/9*int_(1)^(sqrt(3)-epsilon) 1/sqrt(1-(x/sqrt(3))^2) dx $ perchè qui hai messo $1/9$ ?
quando si raccoglie 3 e si porta fuori dalla radice viene $sqrt3$
Quindi si può lasciare dentro all'integrale dato che è proprio la $f'(x)$ che ci serve
uuh piccolo svarione, hai ragione, grazie di avermelo fatto notare
$int_(1)^(sqrt(3)-epsilon) 1/(sqrt(3)*sqrt(1-(x/sqrt(3))^2)) = int_(1)^(sqrt(3)-epsilon) (1/sqrt(3))/sqrt(1-(x/sqrt(3))^2)$
cmq il limite è sempre finito ed esiste (cambia solo di segno)
$int_(1)^(sqrt(3)-epsilon) 1/(sqrt(3)*sqrt(1-(x/sqrt(3))^2)) = int_(1)^(sqrt(3)-epsilon) (1/sqrt(3))/sqrt(1-(x/sqrt(3))^2)$
cmq il limite è sempre finito ed esiste (cambia solo di segno)
ok, però adesso mi risulta circa 54,73
mentre wolfram ( http://www.wolframalpha.com/input/?i=in ... sqrt%283-x^2%29+dx+from+x%3D1+to+sqrt3 ) mi dice 0,95
mentre wolfram ( http://www.wolframalpha.com/input/?i=in ... sqrt%283-x^2%29+dx+from+x%3D1+to+sqrt3 ) mi dice 0,95
non saprei che dirti.
Ma devi tenere in considerazione, che noi abbiamo calcolato il limite $->0$. Wolfram farà qualche approssimazione per darti un risultato, non tenendo in considerazione che si è in estremi $[a,b)$.
Ma devi tenere in considerazione, che noi abbiamo calcolato il limite $->0$. Wolfram farà qualche approssimazione per darti un risultato, non tenendo in considerazione che si è in estremi $[a,b)$.
Si hai ragione, grazie per tutto l'aiuto che mi hai dato! Te ne sono molto riconoscente 
Di nulla, anzi ti ringrazio pure io, mi son ripassato gli integrali improprio così 
Una cosa interessante (un dubbio) che mi hai fatto venire in mente, è se quel valore risultante del limite, visto che è finito, è anche il valore dell'integrale improprio $[1,sqrt(3))$ o è solo un numero per dire se converge o meno. Io direi che è un limite superiore sul valore.
se qualcuno del forum che passa di qua, gentilmente, può confermare o smentire, mi fa un favore
Una cosa interessante (un dubbio) che mi hai fatto venire in mente, è se quel valore risultante del limite, visto che è finito, è anche il valore dell'integrale improprio $[1,sqrt(3))$ o è solo un numero per dire se converge o meno. Io direi che è un limite superiore sul valore.
se qualcuno del forum che passa di qua, gentilmente, può confermare o smentire, mi fa un favore
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo