Integrale con variabile complessa
Salve a tutti,
C'è qualcuno che può aiutarmi a svolgere questo esercizio?
Sia
[tex]Q \subset \mathbb{C}[/tex] il quadrato di vertici [tex]\pm1 \, \pm i[/tex]. Calcolare
[tex]$\int_{+\partial Q} \frac{cos (z)}{z^3} \text{d} z$[/tex]
Fino ad ora ho risolto gli integrali che si presentavano come numeratore e denominatore di forme polinomiali: bastava trovare i poli dal denominatore, individuarli nel piano gaussiano (assi coordinati Re[z] e Im[z] ), calcolare i residui e applicare il teorema dei residui:
[tex]\int f(z)\, dz=2\pi i \sum_{j}^{m} R_f(z_m)[/tex]
dove [tex]$z_m$[/tex] sono i poli.
Ora però non so proprio come trovarli (i poli). Qualcuno saprebbe suggerirmi qualcosa, non so ... un cambiamento di variabili, una scomposizione, una sostituzione...?
Aiutatemi please!
C'è qualcuno che può aiutarmi a svolgere questo esercizio?
Sia
[tex]Q \subset \mathbb{C}[/tex] il quadrato di vertici [tex]\pm1 \, \pm i[/tex]. Calcolare
[tex]$\int_{+\partial Q} \frac{cos (z)}{z^3} \text{d} z$[/tex]
Fino ad ora ho risolto gli integrali che si presentavano come numeratore e denominatore di forme polinomiali: bastava trovare i poli dal denominatore, individuarli nel piano gaussiano (assi coordinati Re[z] e Im[z] ), calcolare i residui e applicare il teorema dei residui:
[tex]\int f(z)\, dz=2\pi i \sum_{j}^{m} R_f(z_m)[/tex]
dove [tex]$z_m$[/tex] sono i poli.
Ora però non so proprio come trovarli (i poli). Qualcuno saprebbe suggerirmi qualcosa, non so ... un cambiamento di variabili, una scomposizione, una sostituzione...?
Aiutatemi please!
Risposte
Tieni conto che $cos$ è una funzione intera, quindi l'unica singolarità della funzione integranda è nell'origine. Si tratta evidentemente di un polo del terzo ordine. La difficoltà sta nel calcolarne il residuo.
Da quello che mi hai detto prendo come polo z=0 di molteplicità n=3.
La formula per trovare il relativo residuo è
[tex]R(z_0)=\lim_{z \to z_0}\frac{1}{(n-1)!}\frac{d^{n-1}}{dz^{n-1}}\bigg[ (z-z_0)^n\, \cdot f(z)\bigg][/tex]
Con le opportune sostituzioni si ha:
[tex]\lim_{z \to 0} \frac{1}{2} \frac{d^2}{dz^2} \bigg[ z^3 \, \cdot \frac{\cos{z}}{z^3} \bigg]=-\frac{1}{2}[/tex]
Applicando il Teorema dei Residui ho:
[tex]\int f(z)\, dz=2\pi i \sum_{j}^{m} R_f(z_m) = 2\pi i \big( -\frac{1}{2}\big)= -\pi i[/tex]
Che è il risultato giusto riportato in basso all'esercizio.
Cmq, non mi è chiaro su come procedere formalmente quando ci sono di mezzo seno e coseno ad esempio se ho:
[tex]\int_{+\partial Q} \frac{\sin(z)}{z^3-(2+i)z^2+2iz} \, dz[/tex]
dove Q è la corona circolare di centro l'origine e raggi 1/2 e 3/2, appartenente al campo dei complessi.
Come lo riscrivo questo qui? Pure questa è una funzione "intera"? Ma che significa? Intendevi continua?
La formula per trovare il relativo residuo è
[tex]R(z_0)=\lim_{z \to z_0}\frac{1}{(n-1)!}\frac{d^{n-1}}{dz^{n-1}}\bigg[ (z-z_0)^n\, \cdot f(z)\bigg][/tex]
Con le opportune sostituzioni si ha:
[tex]\lim_{z \to 0} \frac{1}{2} \frac{d^2}{dz^2} \bigg[ z^3 \, \cdot \frac{\cos{z}}{z^3} \bigg]=-\frac{1}{2}[/tex]
Applicando il Teorema dei Residui ho:
[tex]\int f(z)\, dz=2\pi i \sum_{j}^{m} R_f(z_m) = 2\pi i \big( -\frac{1}{2}\big)= -\pi i[/tex]
Che è il risultato giusto riportato in basso all'esercizio.
Cmq, non mi è chiaro su come procedere formalmente quando ci sono di mezzo seno e coseno ad esempio se ho:
[tex]\int_{+\partial Q} \frac{\sin(z)}{z^3-(2+i)z^2+2iz} \, dz[/tex]
dove Q è la corona circolare di centro l'origine e raggi 1/2 e 3/2, appartenente al campo dei complessi.
Come lo riscrivo questo qui? Pure questa è una funzione "intera"? Ma che significa? Intendevi continua?
Una funzione [tex]f \colon \mathbb{C} \to \mathbb{C}[/tex] si dice intera quando è ovunque olomorfa. Sono intere le funzioni [tex]\exp, \sin, \cos[/tex], ad esempio; non sono intere le funzioni razionali (con denominatore di grado almeno 1).
Cmq, non mi è chiaro su come procedere formalmente quando ci sono di mezzo seno e coseno ad esempio se ho:
[tex]\int_{+\partial Q} \frac{\sin(z)}{z^3-(2+i)z^2+2iz} \, dz[/tex]
posso trascurare il numeratore e concentrarmi direttamente sulle radici del polinomio a denominatore?
Non è che puoi "trascurare" il numeratore; puoi dire che le uniche singolarità della funzione sono dovute all'annullamento del denominatore, perché essendo $sin$ una funzione intera non ha nessuna singolarità.
ok, allora scriverò così in caso capitasse all'esame.
Grazie per il tuo aiuto!
Grazie per il tuo aiuto!
Attenzione, però...
Ad esempio, la funzione [tex]$f(z):= \frac{\sin z}{z}$[/tex] non ha alcuna singolarità pur se il denominatore si annulla in [tex]$0$[/tex].
Quindi non è vero che puoi "trascurare il numeratore" in ogni caso.
Ad esempio, la funzione [tex]$f(z):= \frac{\sin z}{z}$[/tex] non ha alcuna singolarità pur se il denominatore si annulla in [tex]$0$[/tex].
Quindi non è vero che puoi "trascurare il numeratore" in ogni caso.
Comunque, non c'è un modo per riscrivere il numeratore come polinomio? Che so... serie di Taylor tronca?
Oppure non c'è un modo formale/meccanico che permetta di bypassare la nozione teorica e procedere direttamente con i calcoli, sia a NUM che DENOM?
Oppure non c'è un modo formale/meccanico che permetta di bypassare la nozione teorica e procedere direttamente con i calcoli, sia a NUM che DENOM?
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