Integrale con valore assoluto

[Primavera2]

Ritrovandomi questo integrale con il valore assoluto non saprei davvero come comportarmi:
$ int_(-cos(pi/4))^(5) log(x+sqrt(|x^2-1|))dx $ La prima cosa che ho pensato è al dominio dell'integranda che dovrebbe essere per $ x>0 $ essendo $ sqrt(|x^2-1|) $ sempre un numero comunque positivo. Come dovrei comportarmi per l'integrabilità?
Non credo che ne a $ cos(pi/4) $ ne a 5 avrei problemi.
Per quanto riguarda il calcolo poi non ho ben capito se devo svolgere i due casi in cui $ x^2-1<0 $ e $ x^2-1>0 $ e quindi risolvere due integrali diversi...Grazie

[Giuly191]

"Primavera":
Per quanto riguarda il calcolo poi non ho ben capito se devo svolgere i due casi in cui $ x^2-1<0 $ e $ x^2-1>0 $ e quindi risolvere due integrali diversi...Grazie

Potrebbe essere un modo.

"Primavera":La prima cosa che ho pensato è al dominio dell'integranda che dovrebbe essere per $ x>0 $ essendo $ sqrt(|x^2-1|) $ sempre un numero comunque positivo.

Direi proprio di no, prendi $x=-1/3$, è $<0$, eppure $-1/3 + sqrt(8/9) > 0$, quindi l'integranda è definita.

[Primavera2]

Per quanto riguarda i due casi possibili...sarebbe poi da aggiustare con l'integrale che è definito quindi dovrei avere
$ int_(-cos(pi/4))^(1) log(x+sqrt(1-x^2))dx $ e poi $ int_(1)^(5) log(x+sqrt(x^2-1))dx $ per quanto riguarda il dominio dovrebbe essere l'argomento del logaritmo >0 giusto? Che sarebbe $ x+sqrt(|x^2-1|)>0 $ no?

[Giuly191]

Sì, giusto. Prova a fare i conti.

[Primavera2]

Ok per il secondo integrale non ho avuto problemi $ int_(1)^(5) log(x+sqrt(x^2-1))dx $ integrando prima per parti e poi facendo una sostituzione di $ x^2-1=t $ ottengo facilmente $ [ xlog(x+sqrt(x^2-1))-sqrt(x^2-1)] $ da 1 a 5.
Poi però per l'altro integrale le cose si complicano in quanto non riesco a semplificare dopo aver svolto per parti infatti ottengo:
$ xlog(x+sqrt(1-x^2))-int ((sqrt(1-x^2)-x)/(sqrt(1-x^2))/(x+sqrt(1-x^2)))dx $

[Primavera2]

Nessuno che mi può aiutare?

[ciampax]

Veramente il dominio dell'integranda è $(-{\sqrt{2}}/{2},+\infty)$, pertanto i problemi di integrazione si presentano propri nell'estremo $-\cos\pi/4=-\sqrt{2}/{2}$.

[Primavera2]

Ok e quindi come potrei risolverli? il mio procedimento di dividere i due casi per il valore assoluto è sbagliato?

[ciampax]

Quello non è errato, ma è successivo a dimostrare che l'integrale converge. Perché semmai dimostrassi che non converge, allora puoi anche evitare di fare i conti.