Integrale con valore assoluto

[cri981]

salve ragazzi!
devo risolvere il seguente integrale: $ int_(pi/2)^(pi) | sinxcosx | dx $

io pensavo di procedere così:
visto che devo lavorare tra$ pi/2 $e $pi$ noto che in questo intervallo il sinx è positivo mentre il cosx è negativo
$ int_(pi/2)^(pi) sinx(-cosx) dx $
adesso pensavo di integrare per parti:

$f= sinx $ $ f(primo)= cosx$
$g(primo)=-cosx $ $ g=-sinx$
$ sinx(-sinx)-int_(pi/2)^(pi)cosx(-sinx) dx $
$ -sin^2x -int_(pi/2)^(pi) cosx(-sinx) dx $
integro ancora per parti:
$f=-sinx $ $ f(primo)= -cosx$
$g(primo)=cosx $ $g=sinx$=
$ -sin^2x-[-sin^2x-int_(pi/2)^(pi) sinx-cosx dx ] $
ottengo l'integrale di partenza.
$2int_(pi/2)^(pi) sinx-cosx dx =-sin^2x+sin^2x $

$int_(pi/2)^(pi) sinx-cosx dx =1/2$

può andare o è tutto errato?
grazie!

[pilloeffe]

Ciao cri98,

Non ho controllato i conti, ma il risultato è corretto. Si poteva risolvere molto più semplicemente osservando che si ha:

$ \int_(pi/2)^(pi) |sinx cosx| dx = 1/2 \int_(pi/2)^(pi) |2sinx cosx| dx = 1/2 \int_(pi/2)^(pi) |sin(2x)| dx $

[cri981]

"pilloeffe":Ciao cri98,

Non ho controllato i conti, ma il risultato è corretto. Si poteva risolvere molto più semplicemente osservando che si ha:

$ \int_(pi/2)^(pi) |sinx cosx| dx = 1/2 \int_(pi/2)^(pi) |2sinx cosx| dx = 1/2 \int_(pi/2)^(pi) |sin(2x)| dx $

ciao, piloeffe
grazie per la risposta
volevo chiederti perchè da $ |2sinxcosx | $ ottengo $| sin(2x)| $?

[pilloeffe]

"cri98":grazie per la risposta

Prego!

"cri98":volevo chiederti perchè da $|2sinxcosx|$ ottengo $|sin(2x)|$ ?

Beh, è una nota formula trigonometrica di duplicazione:

$ sin(2x) = sin(x + x) = sin x cosx + cos x sin x = 2 sin x cos x $

[cri981]

perfetto grazie mille!