Integrale con teorema dei residui

[Vincent2]

Ciao a tutti, ho questo esercizio che ho quasi risolto, ma ho un dubbio su un passaggio:

Calcolare, usando il teorema dei residui, il seguente integrale

$int_A(1-senz)/((e^(2jz)+1)*(2z-pi)^2)$
Con A frontiera del rettangolo di vertici $j,-j,-j+2pi,j+2pi$

Ok prima cosa controllo le singolarità e il loro grado
$1-senz=0 -> senz=1 -> z = k*pi$
$e^(2jz)+1 = 0 -> Mai$
$(2z-pi)^2 = 0 -> 4z^2-4z*pi+pi^2=0 -> z = pi/2$ polo di secondo ordine.

Verifico se il polo rientra nel rettangolo (rientra), quindi l'integrale è semplicemente il residuo il tal punto.
Ordunque, essendo un polo di ordine 2

$R_f(z_0) = lim_(z->pi/2) ((z-pi)^2* (1-senz)/((e^(2jz)+1)*(2z-pi)^2))'$
$ lim_(z->pi/2) ((z^2-2pi*z+pi^2)*(1-senz)/((e^(2jz)+1)*(4z^2-4z*pi+pi^2)))'$
E' qui che mi sono un momento bloccato, poichè i due quadrati sono quasi simili e potrebbero essere semplificati, ma non saprei proprio come.

Voi come procedereste?

[Sk_Anonymous]

Intanto:

$[(2z-pi)^2=0] rarr [2z-pi=0] rarr [z=pi/2]$

Voglio dire, non è assolutamente necessario eseguire tutti quei conti. Inoltre, se veramente il numeratore e il primo fattore del denominatore non si fossero annullati per $[z=pi/2]$, avresti potuto procedere in questo modo:

$Res(pi/2)=lim_(z->pi/2)[(z-pi/2)^2(1-senz)/((e^(2jz)+1)(2z-pi)^2)]'$

$Res(pi/2)=lim_(z->pi/2)[(z-pi/2)^2(1-senz)/(4(e^(2jz)+1)(z-pi/2)^2)]'$

$Res(pi/2)=lim_(z->pi/2)[(1-senz)/(4(e^(2jz)+1))]'$

Ma siccome nel risolvere queste equazioni:

$1-sinz=0$

$e^(2jz)+1=0$

mi sei sembrato, nella migliore delle ipotesi, un po' troppo sbrigativo, devi riconsiderare tutto.

[DMNQ]

Ciao .
$ \frac{\pi}{2} $ è senza dubbio un polo di ordine 1 .
Si studia $ \ lim_{z->\frac{\pi}{2}} ( z - \frac{\pi}{2}) f(z) $
Ponendo $ \ u = z - \frac{pi}{2} $ , il calcolo diviene
$ \ lim_{u->0} \ \ u \frac{cos(u)-1}{ 4 u^2 ( e^{2ju}-1)} $
cioè $ \ lim_{u->0} \frac{1}{4u} \frac{cos(u)-1}{ e^{2ju}-1} $

poi $ \ lim_{u->0} \frac{1}{4u} \frac{- \frac{1}{2} u^2 + u^2 \alpha\(u)}{ 2ju + u \beta\(u)} $

$ \ lim_{u->0} \frac{1}{4} \frac{- \frac{1}{2} + \alpha\(u)}{ 2j + \beta\(u)} $

e si ottiene $ \frac{j}{16} $ .

Finalmente $ Res( f , \frac{pi}{2} ) = \frac{j}{16} $

Spero che non sbagli

[gugo82]

[OT]

"DMNQ":Spero che non mi sono sbagliato .

Matematicamente forse no, ma grammaticalmente...

[/OT]

[Vincent2]

Ciao e grazie delle risposte.
Ho effettivamente compiuto 2 "orrori" nella risoluzione delle 2 equazioni.
Spero sia stata una svista.

$pi/2$ è un polo di ordine 1 (molteplicità 2 al denominatore, molteplicità 1 al numeratore)

Riguardo la seconda equazione, vi chiedo un aiuto perchè non riesco a capire come risolverla
$e^(2jz) +1 = 0$ ossia $e^(2jz) = -1$
$e^(2j(x+jy)) = e^(2jx+2j(jy)) = -1$
$e^(2jx - 2y) = -1$
$e^(-2y) * (cos(2x)+jsen(2x))=-1$
$ (cos(2x)+jsen(2x))=-1/(e^(-2y) )$
$ (cos(2x)+jsen(2x))=-(e^(2y) )$

Quindi necessariamente $sen(2x) = 0$, (dato che il risultato non ha parte immaginaria) che significa $2x=pi+k*pi->x = (pi+k*pi)/2$

[Sk_Anonymous]

"Vincent":
$pi/2$ è un polo di ordine 1 (molteplicità 2 al denominatore, molteplicità 1 al numeratore)

Attenzione, pur rimanendo un polo di ordine $[1]$, $[pi/2]$ ha molteplicità $[3]$ al denominatore e $[2]$ al numeratore.

[DMNQ]

"gugo82":[OT]

[quote="DMNQ"]Spero che non mi sono sbagliato .

Matematicamente forse no, ma grammaticalmente...

[/OT][/quote]

E vero , bisogna che lavori un poco di più la grammatica ...

[DMNQ]

"Vincent":
Riguardo la seconda equazione, vi chiedo un aiuto perchè non riesco a capire come risolverla
$e^(2jz) +1 = 0$ ossia $e^(2jz) = -1$
$e^(2j(x+jy)) = e^(2jx+2j(jy)) = -1$
$e^(2jx - 2y) = -1$
$e^(-2y) * (cos(2x)+jsen(2x))=-1$
$ (cos(2x)+jsen(2x))=-1/(e^(-2y) )$
$ (cos(2x)+jsen(2x))=-(e^(2y) )$

Quindi necessariamente $sen(2x) = 0$, (dato che il risultato non ha parte immaginaria) che significa $2x=pi+k*pi->x = (pi+k*pi)/2$

L'equazione $e^(2jz) +1 = 0$ è $e^(-2y)*e^(2jx) = 1 * e^(j\pi) $
La comparizione dei moduli e degli argomenti conduce a
${( e^(-2y)=1),( 2x = \pi + 2k\pi) :} $ ossia ${ (y = 0) , (x = \frac{\pi}{2} + k\pi) :} $
$ z = \frac{\pi}{2} + k\pi $ con $ k in \ZZ $