Integrale con Teorema dei Residui
Salve a tutti ragazzi, mi servirebbe una mano per un integrale che mi sta facendo scervellare!
$ oint_(Gamma ) 1/(z-3)e^(1/(z^2-4))dz $
dove
$ Gamma = { z in mathbb(C) : |z|=4} $
Allora. La funzione integranda presenta dei punti di singolarità interni alla regione individuata da $ Gamma $, in particolare abbiamo:
z=3 -> polo semplice con residuo facilmente calcolabile andando al limite.
z=2 -> singolarità essenziale(?)
z=-2 -> singolarità essenziale(?)
Ora, per quello che ho imparato, dovrei andare a cercare i Residui nei punti singolari ed il gioco è fatto. Quello che mi risulta difficile è capire come andare a prendere il Residuo nei punti a singolarità essenziale dato che scrivere la Serie di Laurent centrata in -2 e 2 rispettivamente non è tanto semplice da scrivere...
Inoltre ho letto in giro che si potrebbe usare anche il Residuo all'Infinito, ma non mi è chiaro il procedimento... Qualcuno che ha il buon cuore di aiutarmi?
Grazie mille!
$ oint_(Gamma ) 1/(z-3)e^(1/(z^2-4))dz $
dove
$ Gamma = { z in mathbb(C) : |z|=4} $
Allora. La funzione integranda presenta dei punti di singolarità interni alla regione individuata da $ Gamma $, in particolare abbiamo:
z=3 -> polo semplice con residuo facilmente calcolabile andando al limite.
z=2 -> singolarità essenziale(?)
z=-2 -> singolarità essenziale(?)
Ora, per quello che ho imparato, dovrei andare a cercare i Residui nei punti singolari ed il gioco è fatto. Quello che mi risulta difficile è capire come andare a prendere il Residuo nei punti a singolarità essenziale dato che scrivere la Serie di Laurent centrata in -2 e 2 rispettivamente non è tanto semplice da scrivere...
Inoltre ho letto in giro che si potrebbe usare anche il Residuo all'Infinito, ma non mi è chiaro il procedimento... Qualcuno che ha il buon cuore di aiutarmi?
Grazie mille!
Risposte
Secondo me è più facile andare a calcolare i residui per i punti di singolarità esterni al contorno, perché ce ne dovrebbe essere uno solo (quello all'infinito). 
Infatti, per uno dei Teoremi dei Residui, hai:
\[
\int_\Gamma f(z)\ \text{d}z = -2\pi\ \mathbf{i}\!\!\!\! \sum_{\zeta \text{ singolarità esterna a } \Gamma}\!\!\!\! \operatorname{Res}[f;\zeta]\; ,
\]
e, dato che le singolarità al finito del tuo integrando cadono tutte dentro l'aperto delimitato da $\Gamma$, nel tuo caso hai:
\[
\int_\Gamma f(z)\ \text{d}z = -2\pi\ \mathbf{i}\ \operatorname{Res}[f;\infty ]\; .
\]
Il residuo di $f$ in $\infty$ si calcola tenendo presente che esso è uguale al residuo in $0$ della funzione ausiliaria $g(w) := -\frac{1}{w^2} f(1/w)$, cioè:
\[
\operatorname{Res}[f(z);\infty] = \operatorname{Res} [g(w);0]\; .
\]
Prova un po'.
Infatti, per uno dei Teoremi dei Residui, hai:
\[
\int_\Gamma f(z)\ \text{d}z = -2\pi\ \mathbf{i}\!\!\!\! \sum_{\zeta \text{ singolarità esterna a } \Gamma}\!\!\!\! \operatorname{Res}[f;\zeta]\; ,
\]
e, dato che le singolarità al finito del tuo integrando cadono tutte dentro l'aperto delimitato da $\Gamma$, nel tuo caso hai:
\[
\int_\Gamma f(z)\ \text{d}z = -2\pi\ \mathbf{i}\ \operatorname{Res}[f;\infty ]\; .
\]
Il residuo di $f$ in $\infty$ si calcola tenendo presente che esso è uguale al residuo in $0$ della funzione ausiliaria $g(w) := -\frac{1}{w^2} f(1/w)$, cioè:
\[
\operatorname{Res}[f(z);\infty] = \operatorname{Res} [g(w);0]\; .
\]
Prova un po'.
Scusami gugo, ho letto qui in giro nel forum ma non mi sono ancora fatto convinto, ti spiace dirmi se quello che penso è sbagliato? 
Allora, sfruttando il Corollario del Teorema dei Residui, dovrei avere che:
$ Res (f(z), 2) + Res (f(z), -2) + Res (f(z), 3) = Res (f(z), oo) $ (1)
Cioè, la sommatoria dei Residui della funzione nei suoi punti di singolarità è uguale a 0. In questo caso prendo $ Res(f(z), oo) $ con il segno meno perchè è fuori dal dominio o dipende proprio dalla natura di questo tipo di Residuo il fatto che esso sia sempre da sottrarre agli altri?
Inoltre, calcolare i Residui nelle singolarità esterne al contorno per tornare alla formula (1) è sempre fattibile? E' la prima volta che sono costretto ad utilizzare questa tecnica e sinceramente ho tanti dubbi!
Allora, sfruttando il Corollario del Teorema dei Residui, dovrei avere che:
$ Res (f(z), 2) + Res (f(z), -2) + Res (f(z), 3) = Res (f(z), oo) $ (1)
Cioè, la sommatoria dei Residui della funzione nei suoi punti di singolarità è uguale a 0. In questo caso prendo $ Res(f(z), oo) $ con il segno meno perchè è fuori dal dominio o dipende proprio dalla natura di questo tipo di Residuo il fatto che esso sia sempre da sottrarre agli altri?
Inoltre, calcolare i Residui nelle singolarità esterne al contorno per tornare alla formula (1) è sempre fattibile? E' la prima volta che sono costretto ad utilizzare questa tecnica e sinceramente ho tanti dubbi!
"Korach":
Allora, sfruttando il Corollario del Teorema dei Residui, dovrei avere che:
$ Res (f(z), 2) + Res (f(z), -2) + Res (f(z), 3) = Res (f(z), oo) $ (1)
No, il corollario a cui ti riferisci afferma che :
\(\displaystyle Res (f(z), 2) + Res (f(z), -2) + Res (f(z), 3) + Res (f(z), \infty) = 0 \)
Di conseguenza (siccome \(\displaystyle \pm 2 , 3 \) sono interni all'insieme di integrazione) avresti :
\(\displaystyle \int_{\Gamma} f(z) dz = 2 \pi i (Res (f(z), 2) + Res (f(z), -2) + Res (f(z), 3)) \)
ma per la precedente si può scrivere anche :
\(\displaystyle \int_{\Gamma} f(z) dz = - 2 \pi i Res (f(z), \infty) \)
che è quello che diceva poco fa gugo.
"Korach":
Inoltre, calcolare i Residui nelle singolarità esterne al contorno per tornare alla formula (1) è sempre fattibile? E' la prima volta che sono costretto ad utilizzare questa tecnica e sinceramente ho tanti dubbi!
Non so se ho capito bene, ma se intendi dire : "quando i punti di singolarità sono tutti esterni all'insieme di integrazione come faccio?". In tal caso l'integrale vale 0 proprio per il teorema dei residui.
Questi sono fatti di base sui residui.
Se vai a leggerti la teoria, vedi che esistono tre teoremi dei residui: fatte salve le ipotesi che servono per far funzionare il tutto, i tre teoremi si riassumono nelle tre uguaglianza seguenti:
\[
\begin{split}
\int_{+\Gamma} f(z)\ \text{d} z &= 2\pi\ \mathbf{i}\!\!\!\! \sum_{\zeta \text{ singolarità interna a } \Gamma}\!\!\!\! \operatorname{Res}[f(z);\zeta]\\
\int_{+\Gamma} f(z)\ \text{d} z &= -2\pi\ \mathbf{i}\!\!\!\! \sum_{\zeta \text{ singolarità esterna a } \Gamma}\!\!\!\! \operatorname{Res}[f(z);\zeta]\\
\sum_{\zeta \text{ singolarità interna a } \Gamma}\!\!\!\! \operatorname{Res}[f(z);\zeta] &+ \sum_{\zeta \text{ singolarità esterna a } \Gamma}\!\!\!\! \operatorname{Res}[f(z);\zeta] = 0\; .
\end{split}
\]
Il $-$ che vedi al secondo membro della seconda uguaglianza dipende dal fatto che se interpreti $\Gamma$ come bordo di un intorno di $\infty$ (cioè come frontiera della regione esterna), l'orientamento "positivo" è quello orario.
Se vai a leggerti la teoria, vedi che esistono tre teoremi dei residui: fatte salve le ipotesi che servono per far funzionare il tutto, i tre teoremi si riassumono nelle tre uguaglianza seguenti:
\[
\begin{split}
\int_{+\Gamma} f(z)\ \text{d} z &= 2\pi\ \mathbf{i}\!\!\!\! \sum_{\zeta \text{ singolarità interna a } \Gamma}\!\!\!\! \operatorname{Res}[f(z);\zeta]\\
\int_{+\Gamma} f(z)\ \text{d} z &= -2\pi\ \mathbf{i}\!\!\!\! \sum_{\zeta \text{ singolarità esterna a } \Gamma}\!\!\!\! \operatorname{Res}[f(z);\zeta]\\
\sum_{\zeta \text{ singolarità interna a } \Gamma}\!\!\!\! \operatorname{Res}[f(z);\zeta] &+ \sum_{\zeta \text{ singolarità esterna a } \Gamma}\!\!\!\! \operatorname{Res}[f(z);\zeta] = 0\; .
\end{split}
\]
Il $-$ che vedi al secondo membro della seconda uguaglianza dipende dal fatto che se interpreti $\Gamma$ come bordo di un intorno di $\infty$ (cioè come frontiera della regione esterna), l'orientamento "positivo" è quello orario.
Ok ragazzi, grazie mille davvero!
Purtroppo mi sto rendendo conto di avere qualche buco di troppo nella Teoria che poi non mi aiuta a capire varie cose, ad esempio del Teorema dei Residui conoscevo solo la prima uguaglianza.
Ho letto comunque anche qui e mi sto rendendo conto che in effetti non è complicato come credevo.
Grazie ad entrambi! Gentilissimi e chiarissimi! Vedo di risolverlo e posto la soluzione!
Soluzione!
Purtroppo mi sto rendendo conto di avere qualche buco di troppo nella Teoria che poi non mi aiuta a capire varie cose, ad esempio del Teorema dei Residui conoscevo solo la prima uguaglianza.
Ho letto comunque anche qui e mi sto rendendo conto che in effetti non è complicato come credevo.
Grazie ad entrambi! Gentilissimi e chiarissimi! Vedo di risolverlo e posto la soluzione!
Soluzione!
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