Integrale con teorema dei residui

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Salve a tutti,
ho il seguente esercizio:

Calcolare il seguente integrale facendo uso del teorema dei residui:

$ int_(partialD)e^(piz)/((e^(pi/z)+1)*(1+cos(jpiz)))dz $

dove $ D={zin C:-1
Ho valutato che in $ e^(pi/z) $ c'è una singolarità essenziale e, quindi, vado ad applicare la seguente formula $ int_(partialD)f(z)dz= 2pij[-Res(f,oo )-sum(Res(f,x_n)) ] $ dove $ x_n!inD $

Calcolo la funzione

$f(1/w)(-1/w^2)=-(e^(pi/w)+1)/((e^(piw)+1)(1+cos(jpi/w))w^2)$

Di questa dovrei fare il limite per w->0 poiché Res(f,oo)=Res(f(1/w)(-1/w^2),0)
Purtroppo mi sono bloccato su questo limite. Potreste dirmi se il procedimento che sto seguendo è corretto e se potete darmi una mano a continuare, per favore? Vi ringrazio

[Thyeme]

Mmmmm ma che singolarità hai dentro $D$?

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Nessun'altra perché prendendo inconsiderazione
$ 1+cos(jpiz)=0 => cos(jpiz)= -1 => jpiz=pi+2kpi=>z=(-1-2k)j $

Sostituendo a k tutti i valori appartenenti ad N, il coefficiente della parte immaginaria viene sempre negativo e , quindi, non incluso in D.

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Purtroppo, non sono ancora riuscito a risolvere questo limite. Non riesco a ricondurlo a nessuno di quelli notevoli. Ho provato anch su wolframalpha come ultima spiaggia, ma niente.