Integrale con superfice

[bella.comelaluna]

Sia T contenuta in $R^2$ Il triangolo di vertici $(0,0) (2,0) (0,1) $ e $\omega$
la superficie definita da

$\omega={(x,y,z) \in R^2 : z^2-x^2=0 , z>=0 , (x,y) \in T} $

Calcolare
$int_\omega x^2ydS$


Ragazzi qualcuno mi può moatrare come si fa, io non sono in grado.

[poll89]

parametrizza la superficie: essendo $(x,y)in T$ possiamo dire ad esempio che $x in [0,2]$ e $ y in [1-x/2, 1]$ . Essendo poi $x^2 = z^2$ e $z>=0$ posso addirittura dire che $x=z$, quindi una parametrizzazione per la superficie $omega$ è semplicemente $ { ( x=s ),( y=t ),( z=s ):} $ con $s in [0,2]$ e $ t in [1-s/2, 1]$
In altri termini, il generico punto sulla superficie $omega$ ha coordinate $P(x,y,z) = P(x(s,t),y(s,t),z(s,t)) =text( (sostituisco) ) =(s,t,s)$.

A questo punto ti serve il vettore normale alla superficie, o meglio la sua norma: tale versore è $N(s,t) = (delP)/(dels) (s,t) ^^ (delP)/(delt)(s,t)$, dove con $^^$ indico il prodotto vettoriale. Dai miei conti esce $|N(s,t)| = 2$, il che era prevedibile visto che la trasformazione di coordinate è lineare.
A questo punto, con scrittura molto informale, chiamo $D={(s,t) in [0,2] xx [1-s/2,1]}$ e posso calcolare l'integrale:

$ int_\omega x^2ydS = int int_D s^2 t *2 dS = int_(0)^(2) int_(1-s/2)^1 2s^2t dt ds = 2int_(0)^(2)s^2 ds int_(1-s/2)^1 tdt $

da qui direi che puoi finire da sola